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Lexikon der Mathematik: Orthogonalität von Zufallsvariablen

die Eigenschaft \begin{eqnarray}E(XY)=0\end{eqnarray} von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierten zweifach integrierbaren reellen Zufallsvariablen X und Y.

Sind X und Y orthogonal, so schreibt manXY. Auf der Menge \({ {\mathcal L} }^{\text{2}}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) der auf \({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P\) definierten zweifach integrierbaren reellen Zufallsvariablen ist \begin{eqnarray}X\sim Y:\iff X=Y\,\,P\text{-fast}\,\text{sicher}\end{eqnarray} eine Äquivalenzrelation. Die Menge \begin{eqnarray}{L}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)=\{|X|:X\in {{\mathcal{L}}}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\}\end{eqnarray} der zugehörigen Äquivalenzklassen [X] bezeichnet man als L2-Raum. Mit dem durch \begin{eqnarray}\langle [X],[Y]\rangle :=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}XYdP=E(XY)\end{eqnarray} definierten Skalarprodukt ist \({L}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) ein Hilbertraum. Man erkennt nun, daß \({ {\mathcal L} }^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) genau dann orthogonal sind, wenn die Äquivalenzklassen [X] und [Y] im Raum \({L}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) orthogonal im Sinne der linearen Algebra sind. Eine Teilmenge \(M\subseteq { {\mathcal L} }^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) heißt ein orthogonales System von Zufallsvariablen, falls für alle X, YM die Beziehung XY gilt. Gilt für alle XM zusätzlich ∥[X]∥2 = 1, so nennt man M ein orthonormiertes System von Zufallsvariablen. Dabei bezeichnet ║ · ║2 die vom Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ auf \({L}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) induzierte Norm.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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