Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Orthonormalbasis

in der Sprache der Linearen Algebra eine Basis B = (bi)iI eines euklidischen oder unitären Vektorraumes (V, ⟨·, ·⟩ mit ║bi║ = 1 für alle iI und \begin{eqnarray}\langle {b}_{i},{b}_{j}\rangle =0\end{eqnarray} für alle i, jI mit ij. Ist b = (b1, …, bn) eine Orthonormalbasis von (V, ⟨·, ·⟩, so gilt für alle vV die Darstellung \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\langle v,{b}_{i}\rangle {b}_{i};\end{eqnarray} für vb = (α1, …, αn) und \({v}_{b}^{^{\prime} }=({\alpha }_{1}^{^{\prime} },\ldots,{\alpha }_{n}^{^{\prime} })\) (Koordinatenvektoren der Vektoren v und v′ bzgl b) gilt außerdem: \begin{eqnarray}\langle v,{v}^{\prime}\rangle =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}{\alpha }_{i}^{\prime}.\end{eqnarray}

Der Endomorphismus ϕ : VV wird bezüglich der Orthonormalbasis b durch die (n × n)-Matrix \begin{eqnarray}A=({a}_{ij}):=(\langle \varphi ({b}_{j}),{b}_{i}\rangle )\end{eqnarray} beschrieben.

Ist (b1, …, bn) eine Orthonormalbasis und U eine unitäre (n × n)-Matrix, so bildet \begin{eqnarray}({b}_{1}^{\prime},\ldots,{b}_{n}^{\prime}):=U({b}_{1},\ldots,{b}_{n})\end{eqnarray} wieder eine Orthonormalbasis.

In der Funktionalanalysis versteht man unter einer Orthonormalbasis ein maximales Orthonormalsystem in einem Hilbertraum; ein Synonym hierzu ist vollständiges Orthonormalsystem.

Sei S = {ei : iI} ein Orthonormalsystem in einem Hilbertraum H. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

  1. S ist maximal, d. h., ist S′ ⊃ S ein Orthonormalsystem, so gilt S′ = S.
  2. S ist total, d. h. S = {0}.
  3. Es gilt die Parsevalsche Gleichung \begin{eqnarray}{\Vert x\Vert }^{2}=\displaystyle \sum _{i\in I}{|\langle x,{e}_{i}\rangle |}^{2}\,\,\,\,\,\forall x\in H.\end{eqnarray}
  4. (4) Es gilt der Entwicklungssatz \begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{i\in I}\langle x,{e}_{i}\rangle {e}_{i}\,\,\,\,\,\forall x\in H.\end{eqnarray}

Ist eine (und damit alle) dieser Bedingungen erfüllt, heißt S eine Orthonormalbasis, und die Skalarprodukte ⟨x, ei⟩ nennt man die Fourier-Koffizienten bzgl. dieser Basis. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis, und je zwei Orthonormalbasen haben dieselbe Kardinalität, die Hilbertraum-Dimension genannt wird. In einem separablen unendlichdimensionalen Hilbertraum ist jede Orthonormalbasis abzählbar.

Im Raum 2(I) ist die Menge der Einheitsvektoren ei : kδik eine Orthonormalbasis, und im Hilbertraum L2[0,1] ist das trigonometrische System {en : n ∈ ℤ} mit en(t) = e2πint eine Orthonormalbasis; die ⟨f, en⟩ sind hier die klassischen Fourier-Koeffizienten der Funktion f. Eine weitere Orthonormalbasis in diesem Hilbertraum ist die Haar-Basis. Viele klassische Systeme orthogonaler Polynome bilden Orthonormalbasen, z. B. die Legendre-Polynome in L2 [−1, 1].

Ist T ein selbstadjungierter kompakter Operator auf einem Hilbertraum H (oder allgemeiner ein selbstadjungierter Operator mit kompakter Resolvente), so besitzt H eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T.

[1] Jänich, K.: Lineare Algebra. Springer Berlin Heidelberg New York, 1998.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg New York, 1995.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos