Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Osgood, Eindeutigkeitssatz von

lautet:

Sei a > 0, I ≔ [x0, x0 + a] ein Intervall, und qC0([0, ∞), ℝ) derart, daß \begin{eqnarray}q(0)=0,\,\,\,\,q(z)\gt 0\end{eqnarray} für z > 0, und \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dz}{q(z)}=\infty. \end{eqnarray}

Sei weiterhin GI × ℝneine offene Menge und (x0, y0) ∈ G, f : G → ℝn. Schließlich gelte für alle (x, y1), (x, y2) ∈ G: \begin{eqnarray}\Vert f(x,{{\bf{\text{y}}}}_{1})-f(x,{{\bf{\text{y}}}}_{2})\Vert \le q\,(\Vert {{\bf{\text{y}}}}_{1}-{{\bf{\text{y}}}}_{2}\Vert ).\end{eqnarray}

Dann hat das Anfangswertproblem \begin{eqnarray}{{\bf{\text{y}}}}^{\prime}=f(x,{\bf{\text{y}}}),\,\,\,\,\,\,{\bf{\text{y}}}({x}_{0})={{\bf{\text{y}}}}_{0}\end{eqnarray}höchstens eine Lösung, und diese ist stetig abhängig vom Anfangswert (x0, y0) und von der rechten Seite f der Differentialgleichung.

Dieser Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Bompiani (Bompiani, Eindeutigkeitssatz von). Andererseits folgt aus dem Satz von Osgood mit L > 0 und q(z) ≔ Lz als Spezialfall der Satz von PicardLindelöf.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos