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Lexikon der Mathematik: oskulierend

Eigenschaft eines linearen Unterraums eines projektiven Raums.

Sei C ⊂ ℙ(E) eine glatte algebraische Kurve in einem n-dimensionalen projektiven Raum ℙ(E) und E ein (n + 1)-dimensionaler Vektorraum über dem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Die Einbettung sei nicht ausgeartet, d. h. C sei in keinem echten linearen Unterraum enthalten.

Ein r-dimensionaler linearer Unterraum ℙ(E/W) ⊆ ℙ(E) heißt oskulierend im Punkte pC, wenn das r-Jet für alle wW im Punkte p verschwindet. Hierbei sind die Elemente wE als Schnitte der Garbe \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{C}(1)={{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(E)}(1)|C\end{eqnarray} zu verstehen, nach Voraussetzung ist \(E\subseteq {H}^{0}(C,\,{{\mathcal{O}}}_{C}(1))\).

In fast allen Punkten gibt es genau einen oskulierenden Unterraum gegebener Dimension.

Oskulierende Geraden sind die Tangentialgeraden, oskulierende Hyperebenen sind die Hyperebenen H mit (H · C)pn.

Die Abbildung \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{C}\otimes E\mathop{\to }\limits^{{J}_{n}}{J}_{n}({{\mathcal{O}}}_{C}(1)),\end{eqnarray} die jedem Schnitt sein n-Jet zuordnet, ist fast überall ein Isomorphismus. Aufgrund der exakten Folgen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}0 & \to & Sy{m}^{r+1}({{\rm{\Omega }}}_{C}^{1})\otimes {\mathcal{O}}(1)\\ & \to & {J}_{r+1}({\mathcal{O}}(1))\to {J}_{r}({\mathcal{O}}(1))\to 0\end{array}\end{eqnarray} ist \begin{eqnarray}\text{deg}({J}_{n}({{\mathcal{O}}}_{C}(1)))=(n+1)[d+n(g-1)],\end{eqnarray} wobei d = deg(C), und g das Geschlecht der Kurve C bezeichnet.

Die Determinante von Jn definiert daher einen effektiven Divisor D vom Grad \begin{eqnarray}(n+1)(d+n(g-1)),\end{eqnarray} außerhalb von supp D sind alle oskulierenden Unterräume eindeutig bestimmt.

Oskulierende Unterräume der Dimension r in pC heißen hyperoskulierend, wenn die (r + 1)-Jets im Punkt p auf W verschwinden (für Unterräume ℙ(E(W))).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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