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Lexikon der Mathematik: Oszillation

Schwankung, der Ausdruck \begin{eqnarray}\sigma (f):=\sup \{|f(x)-f(y)|:x,y\in {\mathfrak{D}}\}\end{eqnarray} (in [0, ∞]) für eine auf einer nicht-leeren Menge \({\mathfrak{D}}\) definierte reellwertige Funktion f. Für eine solche Funktion ist σ(f) gerade gleich \begin{eqnarray}\sup \{f(x):x\in {\mathfrak{D}}\}-\inf \{f(x):x\in {\mathfrak{D}}\}.\end{eqnarray}

Die erste Beschreibung hat den Vorteil, daß sie entsprechend für wesentlich allgemeinere Zielbereiche gilt: Ist der Zielbereich etwa ein metrischer Raum \(({\mathfrak{S}},\delta)\), so definert man entsprechend \begin{eqnarray}\sigma (f):=\sup \{\delta (f(x),f(y)):x,y\in {\mathfrak{D}}\}.\end{eqnarray}

Ist A nicht-leere Teilmenge von \({\mathfrak{D}}\), so bezeichnet \begin{eqnarray}\sigma (f;A):=\sup \{\delta (f(x),f(y)):x,y\in A\}\end{eqnarray} die Oszillation oder Schwankung von f auf A.

Ist auf \({\mathfrak{D}}\) eine Topologie erklärt, dann bezeichnet für \(x\in \Re \)\begin{eqnarray}s(x):={s}_{f}(x):={\text{inf}}\{\sigma (f;A)\}\,\text{|}\,x\in A\,\text{offen}\}\end{eqnarray} die Punktschwankung von f in x. Kennt man den Begriff des Durchmessers (∆) in einem metrischen Raum, so kann die Punktschwankung konziser durch \begin{eqnarray}s(x):=\inf \{{\rm{\Delta }}(f(A))|A\,\,\text{Umgebung}\,\,\text{von}\,x\}\end{eqnarray} beschrieben werden. Dies ist eine „Maß“ für die mögliche Unstetigkeit von f in x, denn offenbar ist die Punktschwankung von f in x genau dann 0, wenn f in x stetig ist.

Die Funktion sf ist oberhalb halbstetig (Halbstetigkeit).

Die Menge U(f) der Unstetigkeitspunkte von f kann mit \({U}_{\varepsilon }(f):=\{x\in {\mathfrak{D}}\text{|}{s}_{f}\text{(}x\text{)}\ge \varepsilon \}\) (für ϵ > 0) in der Form \begin{eqnarray}U(f)=\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\bigcup }}{U}_{\frac{1}{n}}(f)\end{eqnarray} geschrieben werden. Da jedes Uϵ (f) abgeschlossen ist, wird U(f) so als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen, also bei kompaktem Definitionsbereich als abzählbare Vereinigung kompakter Mengen, dargestellt.

Mit der Funktion s kann die Riemann-Integrierbarkeit einer auf einem kompakten Intervall gegebenen beschränkten reellwertigen Funktion f zum Beispiel wie folgt – rein innerhalb der Theorie des Riemann-Integrals (mit dem Jordan-Inhalt) – beschrieben werden:

f ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sf eine Jordan-Nullfunktion ist, bzw. genau dann, wenn U(f) abzählbare Vereinigung von JordanNullmengen ist.

Diese Charakterisierung gilt entsprechend für mehrdimensionale Integration für eine beschränkte Funktion mit beschränktem Träger.

Man vergleiche auch Stetigkeitsmodul.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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