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Lexikon der Mathematik: Oszillationssatz

Aussage über die Nullstellen von Lösungen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{(p(x){y}^{\prime})}^{\prime}+q(x)y=0.\end{array}\end{eqnarray}

Sei a ∈ ℝ, seien pC1 ([a, ∞)) und qC0([a, ∞)) mit \begin{eqnarray}q(x) \gt 0 \,\,\,\,\mathit{f}\mathit{\ddot{u}}\mathit{r\,alle}\,\,\,\, x \ge a, \,\,\,\mathit{und}\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dx}{p(x)}=\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}q(x)dx=\infty. \end{eqnarray}

Dann ist die Differentialgleichung (1) auf [a, ∞) oszillatorisch, d. h. jede ihrer Lösungen besitzt in [a, ∞) unendlich viele Nullstellen.

Dieser Satz garantiert, daß Lösungen der Differentialgleichung (1) (unendlich viele) Nullstellen besitzen. Erst damit werden dann beispielsweise der Sturmsche Trennungssatz und der Sturmsche Vergleichssatz über diese Nullstellen sinnvoll anwendbar.

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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