klassische Methode der Approximation von Funktionen(reihen) durch rationale Funktionen.

Bei der Padé-Approximation werden formale oder konvergente Funktionenreihen der Form \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}_{k}{x}^{k}\end{eqnarray} durch rationale Funktionen \(r=\frac{p}{q}\) approximiert. Hierbei ist p ein Polynom vom Grad n und q ≠ 0 ein Polynom vom Grad m. Besonders geeignet ist dieser Ansatz, wenn f Pole besitzt.

Ein Padé-Approximant r_m,n vom Typ (m, n) an f ist festgelegt durch die Forderung, daß in der Reihenentwicklung von r_m,n um 0 für eine möglichst große natürliche Zahl M die Gleichung \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{M}{a}_{k}{x}^{k}={r}_{m,n}(x)\end{eqnarray} erfüllt ist. Es ist bekannt, daß für festes m und n stets ein eindeutiger Padé-Approximant r_m,n vom Typ (m, n) an eine Reihe f der obigen Form existiert.

Eine Tabelle, welche für vorgegebenes f die Padé-Approximanten r_m,n, m, n ∈ ℕ₀, enthält, wird Padé-Tabelle oder Padé-Tafel von f genannt. Für fixiertes m spricht man von einer Padé-Zeile dieser Tabelle – im Spezialfall m = 0 enthält die Padé-Zeile somit die Taylor-Reihenentwicklung von f. Für fixiertes n spricht man von einer Padé-Spalte dieser Tabelle. Die Einträge r_n+k,n, n ∈ ℕ₀, werden Diagonalen der Padé-Tabelle von f genannt, und der Fall k = 0 bezeichnet die Hauptdiagonale.

Die Berechnung des Padé-Approximanten r_m,n geschieht durch Lösen eines linearen Gleichungssystems, dessen Koeffizienten durch die Kenntnis der Werte a_k, k = 0, …, n + m, bestimmt werden können. Falls die Determinante der Hankelmatrix \begin{eqnarray}{H}_{n,m}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{n-m+1} & {a}_{n-m+2} & \cdots & {a}_{n}\\ \vdots & & & \vdots \\ \vdots & & & \vdots \\ {a}_{n} & {a}_{n+1} & \cdots & {a}_{n+m-1}\end{array}\right)\end{eqnarray} nicht verschwindet, berechnet man den (durch q(0) = 1 normierten) Nenner von r_m,n durch \begin{eqnarray}\frac{1}{\det {H}_{n,m}}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{n-m+1} & \cdots & {a}_{n} & {a}_{n+1}\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ {a}_{n} & & {a}_{n+m-1} & {a}_{n+m}\\ {z}^{m} & \cdots & z & 1\end{array}\right)\end{eqnarray} Ähnliche Formeln gelten in diesem Fall für den Zähler von r_m,n.

Als Beispiel einige Padé-Approximanten an die Exponentialreihe \begin{eqnarray}\exp (x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k!}.\end{eqnarray}

Man berechnet: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{r}_{0,0}(x)=1,\,\,{r}_{1,0}(x)=\frac{1}{1-x},\,\,{r}_{2,0}(x)=\frac{2}{2-2x+{x}^{2}},\\ {r}_{3,0}(x)=\frac{6}{6-6x+3{x}^{2}-{x}^{3}},\,\,{r}_{0,1}(x)=1+x,\\ {r}_{0,2}(x)=\frac{2+2x+{x}^{2}}{2},\,\,{r}_{0,3}(x)=\frac{6+6x+3{x}^{2}+{x}^{3}}{6},\\ {r}_{1,1}(x)=\frac{2+x}{2-x},\,\,{r}_{2,1}(x)=\frac{6+2x}{6-4x+{x}^{2}},\\ {r}_{3,1}(x)=\frac{24+6x}{24-18x+6{x}^{2}-{x}^{3}},\,\,{r}_{1,2}(x)=\frac{6+4x+{x}^{2}}{6-2x},\\ {r}_{1,3}(x)=\frac{24+18x+16{x}^{2}+{x}^{3}}{24-6x},\,\,{r}_{2,2}(x)=\frac{12+6x+{x}^{2}}{12-6x+{x}^{2}},\\ {r}_{3,2}(x)=\frac{60+24x+3{x}^{2}}{60-36x+9{x}^{2}-{x}^{3}},\\ {r}_{2,3}(x)=\frac{60+36x+9{x}^{2}+{x}^{3}}{60-24x+3{x}^{2}},\\ {r}_{3,3}(x)=\frac{120+60x+12{x}^{2}+{x}^{3}}{120-60x+12{x}^{2}-{x}^{3}}.\end{array}\end{eqnarray}

[1] Baker G. A. Jr. und Graves-Morris P.: Padé Approximants. Cambridge University Press, 1996.