nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form \begin{eqnarray}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}=R(\frac{dw}{dz},w,z),\end{eqnarray} wobei R eine in w und w′ rationale und in z analytische Funktion ist, deren Lösungen frei von beweglichen wesentlichen Singularitäten ist.

Diese Eigenschaft ist für lineare Differentialgleichungen trivialerweise immer erfüllt, schränkt aber die nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom oben genannten Typ, die sich nicht auf lineare Differentialgleichungen reduzieren lassen, derart ein, daß nur die folgenden sechs Painleve-Differentialgleichungen verbleiben: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & 6{w}^{2}+z\\ \displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & 2{w}^{3}+zw+a\\ \displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & \displaystyle\frac{1}{w}{\left(\displaystyle\frac{dw}{dz}\right)}^{2}+{e}^{z}(a{w}^{2}+b)+\\ & & +{e}^{2z}(c{w}^{3}+\displaystyle\frac{d}{w})\,\,\,\,\,(bd\ne 0)\\ \displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & \displaystyle\frac{1}{2w}{\left(\displaystyle\frac{dw}{dz}\right)}^{2}+\displaystyle\frac{3}{2}{w}^{3}+4z{w}^{2}+\\ & & +2({z}^{2}-a)w+\displaystyle\frac{b}{w}\\ \displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & {\left(\displaystyle\frac{dw}{dz}\right)}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2w}+\displaystyle\frac{1}{w-1}\right)-\displaystyle\frac{w}{z}+\\ & & +\displaystyle\frac{{(w-1)}^{2}}{{z}^{2}}\left(aw+\displaystyle\frac{b}{w}\right)+c\displaystyle\frac{w}{z}+\\ & & +d\displaystyle\frac{w(w+1)}{w-1}\\ \displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}} & = & {\left(\displaystyle\frac{dw}{dz}\right)}^{2}\left(\displaystyle\frac{1}{w}+\displaystyle\frac{1}{w-1}+\displaystyle\frac{1}{w-z}\right)-\\ & & -\displaystyle\frac{dw}{dz}\left(\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{z-1}+\displaystyle\frac{1}{w-z}\right)+\\ & & +\displaystyle\frac{w(w-1)(w-2)}{{z}^{2}{(z-1)}^{2}}.\\ & & \cdot \left(a+b\displaystyle\frac{z}{{w}^{2}}+c\displaystyle\frac{z-1}{{(w-1)}^{2}}+d\displaystyle\frac{z(z-1)}{{(w-z)}^{2}}\right)\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei sind a, b, c, d bis auf die notierten Ausnahmen beliebige komplexe Konstanten.

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind die transzendenten Painlevé-Funktionen. Sie lassen sich nicht auf andere spezielle Funktionen zurückführen.

Formuliert man die analoge Frage für Differentialgleichungen erster Ordnung, so entstehen hierbei immer Funktionen, die rationale Ausdrücke in der Weierstraßschen ℘-Funktion sind.