Lexikon der Mathematik: Pappossche Geometrie
in ihren Grundlagen bereits im 3. Jahrhundert von Pappos (Pappus) von Alexandria entwickelte Geometrie der Ebene.
Pappos’ geometrische Arbeiten beruhen auf den aus der Antike überlieferten Untersuchungen zur Geometrie der Ebene und reflektieren intensiv deren axiomatischen Aufbau. Gleichzeitig finden sich in den überlieferten, mehrere systematisch aufgebaute Bände umfassenden Werken von Pappos grundlegende eigene Arbeiten zur analytischen Geometrie der Ebene. Mit seinen Erkenntnissen zu Lagebeziehungen von Geraden der Ebene hat er intensiv zur Begründung analytischer Sichtweisen der Elementargeometrie beigetragen. So sagt ein auch heute noch nach ihm benannter Satz:
Wenn A1, A2, A3und B1, B2, B3je drei Punkte zweier sich schneidender Geraden darstellen, die von dem Schnittpunkt der Geraden verschieden sind, so liegen die Schnittpunkte der Verbindungsgeraden A1B2, A2B1sowie A1B3, A3B1und A2B3, A3B2auf einer Geraden.
Zum Satz von Pappos
Darüber hinaus führt Pappos in seinen Arbeiten das Doppelverhältnis von vier Punkten sowie das Doppelverhältnis von vier Geraden ein. Er untersucht die Beziehungen zwischen diesen beiden Größen für den Fall eines von einer Geraden geschnittenen Geradenbüschels. Die erhaltene Identität führt unter anderem zu der Konsequenz, daß das Doppelverhältnis von vier Punkten eine Invariante unter projektiven Abbildungen ist.
Die von ihm im Kontext dieses Begriffes vorgenommenen Untersuchungen stellen eine entscheidende Grundlage der projektiven Geometrie dar, die erst viele Jahrhunderte später systematisch entwickelt worden ist. Die Gruppe der projektiven Transformationen kann dabei als Invarianzgruppe des Doppelverhältnisses definiert werden.
Im Rahmen des axiomatischen Aufbaus der projektiven Geometrie werden heute Pappossche Räume untersucht. Diese Räume sind durch das Bestehen eines Axioms gekennzeichnet, dessen Inhalt mit dem oben eingeführten Satz von Pappos identisch ist. Der Begriff Pappossche Geometrie wird zur Beschreibung der projektiven Geometrie Papposscher Räume verwendet.
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