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Lexikon der Mathematik: Paraboloid

unendliche Fläche zweiter Ordnung ohne Mittelpunkt.

Man unterscheidet zwei Arten von Paraboloiden, elliptische und hyperbolische Paraboloide. Hyperbolische Paraboloide werden auch als Sattelflächen bezeichnet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Paraboloid
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Elliptisches Paraboloid

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Paraboloid
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Hyperbolisches Paraboloid

In einem geeigneten (z. B. durch Hauptachsentransformation zu bestimmenden) Koordinatensystem wird ein elliptisches Paraboloid durch eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{{x}^{2}}{p}+\frac{{y}^{2}}{q}=2z\,\,\,\,\,(\text{mit}\,p\gt 0,\,\,q\gt 0)\end{array}\end{eqnarray} und ein hyperbolisches Paraboloid durch eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{{x}^{2}}{p}-\frac{{y}^{2}}{q}=2z\,\,\,\,\,(\text{mit}\,p\gt 0,\,\,q\gt 0)\end{array}\end{eqnarray} beschrieben.

Die Schnittkurven eines durch (1) oder (2) dargestellten Paraboloids mit Ebenen, welche die z-Achse enthalten, sind Parabeln. Die Schnittkurven eines durch (1) beschriebenen elliptischen Paraboloids mit auf der z-Achse senkrecht stehenden Ebenen, die oberhalb der (x, y)-Ebene liegen, sind Ellipsen und für den Spezialfall p = q Kreise. In letzterem Fall handelt es sich um ein Rotationsparaboloid.

Betrachtet man die Schnitte von auf der z-Achse senkrecht stehenden Ebenen, die nicht durch den Koordinatenursprung verlaufen, mit einem hyperbolischen Paraboloid entsprechend (2), so erhält man als Schnittkurven Hyperbeln. Hingegen schneidet die (x, y)-Ebene aus dem hyperbolischen Paraboloid ein Paar von Geraden mit den Gleichungen \begin{eqnarray}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0\,\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0\end{eqnarray} aus, die als Scheitelgeraden bezeichnet werden.

Das hyperbolische Paraboloid ist die einzige nicht entartete Fläche zweiten Grades, die in keinem Falle eine Rotationsfläche darstellt und auch nicht durch eine Verzerrung in eine solche überführt werden kann (was z. B. bei den elliptischen Paraboloiden möglich ist).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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