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Lexikon der Mathematik: Parallelenaxiom

Axiom, welches für die Euklidische Geometrie die Eindeutigkeit paralleler Geraden festlegt (Axiome der Geometrie):

Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existiert höchstens eine Gerade h, die zu g parallel ist und durch P verläuft.

Dies ist zu unterscheiden vom Parallelenaxiom des Euklid.

Die Existenz von parallelen Geraden zu einer Geraden g durch jeden nicht auf g liegenden Punkt P braucht nicht gefordert zu werden, da diese bereits aus den Axiomen der absoluten Geometrie ableitbar ist. Ob es tatsächlich notwendig ist, die Eindeutigkeit mittels eines Axioms zu fordern oder das Parallelenaxiom überflüssig ist, war über viele Jahrhunderte hinweg umstritten (Parallelenproblem), bis im 19. Jahrhundert nachgewiesen wurde, daß auch die Axiome der absoluten Geometrie ergänzt um die Negation des o. g. Parallelenaxioms eine widerspruchsfreie mathematische Theorie, die Lobatschewski-Geometrie bzw. hyperbolische Geometrie, darstellen. Deren Parallelenaxiom (oft als Lobatschewskisches Parallenaxiom bezeichnet) lautet:

Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die zu g parallel sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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