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Lexikon der Mathematik: Parameterdarstellung einer Fläche

eine Abbildung Φ : U → ℝ3 von einer offenen Teilmenge U ⊂ ℝ2 in ℝ3, d. h., ein Tripel \begin{eqnarray}{\rm{\Phi }}(t)=(\xi (u,v),\eta (u,v),\zeta (u,v))\end{eqnarray} differenzierbarer Funktionen, die von hinreichend hoher Ordnung differenzierbar sind.

Man fordert außerdem noch Regularität. Diese besteht darin, daß die durch \begin{eqnarray}{J}_{{\rm{\Phi }}}(u,v)=\left(\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{\partial \xi (u,v)}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial \xi (u,v)}{\partial v}\\ \displaystyle\frac{\partial \eta (u,v)}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial \eta (u,v)}{\partial v}\\ \displaystyle\frac{\partial \zeta (u,v)}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial \zeta (u,v)}{\partial v}\end{array}\right)\end{eqnarray} gegebene Jacobi-Matrix den Rang zwei hat. Gleichwertig damit ist, daß die Tangentialvektoren \begin{eqnarray}{{\rm{\Phi }}}_{u}=\frac{\partial {\rm{\Phi }}(u,v)}{\partial u}\,\,\text{und}\,\,{{\rm{\Phi }}}_{u}=\frac{\partial {\rm{\Phi }}(u,v)}{\partial v}\end{eqnarray} linear unabhängig sind. Die Bildmenge von Φ ist dann eine zweidimensionale, nach den üblichen Vorstellungen glatte Fläche, d. h., sie besitzt keine singulären Punkte, weder Ecken oder Kanten noch sonstige schroffe Formen.

Sie kann jedoch noch Selbstdurchdringungen haben. Das ist dann der Fall, wenn Φ nicht injektiv ist oder keine eigentliche Abbildung ist. Eine Abbildung wird eigentlich genannt, wenn das Urbild jeder kompakten Menge wieder kompakt ist. Bei der Parameterdarstellung Φ wird mit dieser Forderung die Möglichkeit ausgeschlossen, daß es im Parameterbereich U ⊂ ℝ2 eine Punktfolge Q1, Q2, Q3, … ∈ U gibt, die keinen Häufungspunkt besitzt, für die aber die Folge der Bildpunkte Pi = Φ(Qi) in der Fläche Φ(U) einen Häufungspunkt Φ(Q), (QU), hat.

Die Regularität hat zur Folge, daß Φ lokal injektiv ist. Darüber hinaus ist das Normalenvektorfeld \begin{eqnarray}\overrightarrow{N}(u,v)={{\rm{\Phi }}}_{u}(u,v)\times {{\rm{\Phi }}}_{v}(u,v)\end{eqnarray} nirgendwo gleich Null, sodaß die Fläche ein eindeutiges Einheitsnormalenfeld \begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}(u,v)=\frac{\overrightarrow{N}(u,v)}{|\overrightarrow{N}(u,v)|}\end{eqnarray} besitzt und somit orientierbar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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