Parsevalsche Identität, Beziehung zwischen der Norm eines Elements x in einem Hilbertraum H und den Koeffizienten ⟨x, e_i⟩ in der Entwicklung bzgl. einer Orthonormalbasis {e_i : i ∈ I} : \begin{eqnarray}{\Vert x\Vert }^{2}=\displaystyle \sum _{i\in I}{|\langle x,{e}_{i}\rangle |}^{2}.\end{eqnarray}

Gelegentlich wird auch folgende Verallgemeinerung als Parsevalsche Gleichung bezeichnet: Für x, y ∈ H gilt \begin{eqnarray}\langle x,y\rangle =\displaystyle \sum _{i\in I}\langle x,{e}_{n}\rangle \langle {e}_{n},y\rangle.\end{eqnarray}

Im Fall des komplexen Hilbertraums L² [0,1] und des trigonometrischen Systems {e_n : n ∈ ℤ}, wobei e_n(t) = e^2πint, ergibt sich die Beziehung \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{|f(t)|}^{2}dt=\displaystyle \sum _{n\in {\mathbb{Z}}}{|{\gamma }_{n}|}^{2}\end{eqnarray} mit den Fourier-Koeffizienten \begin{eqnarray}{\gamma }_{n}=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t){e}^{-2\pi {int}}dt\end{eqnarray} der Funktion f; dieses ist die klassische Parsevalsche Gleichung der Fourier-Analysis.