die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\left[\displaystyle\frac{{a}_{1,1}}{x-{\alpha }_{1}}+\cdots +\frac{{a}_{1,{k}_{1}}}{{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}}\right]\\ +\cdots +\\ +\left[\displaystyle\frac{{a}_{r,1}}{x-{\alpha }_{r}}+\cdots +\frac{{a}_{r,{k}_{r}}}{{(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}}\right]\\ +\left[\displaystyle\frac{2{b}_{1,1}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,1}}{{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{1,{m}_{1}}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,{m}_{1}}}{{({(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2})}^{{m}_{1}}}\right]\\ +\cdots +\\ +\left[\displaystyle\frac{2{b}_{s,1}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,1}}{{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{s,{m}_{s}}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,{m}_{s}}}{{({(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2})}^{{m}_{s}}}\right]\end{array}\end{eqnarray} mit geeigneten reellen Zahlen a_ϱ,κ, b_σ,μ und c_σ,μ einer reduzierten rationalen Funktion R = R(x), d. h. einer rationalen Funktion der Form \begin{eqnarray}R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}\,\,\,\,(x\in {D}_{R}:=\{x\in {\mathbb{R}}|Q(x)\ne 0\})\end{eqnarray} mit Polynomen P und Q mit ord P < ord Q („echter (Polynom-)Bruch“), deren Nennerpolynom Q in der Form \begin{array}{l}{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}\cdots {(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}\cdot \\ \,\,\,\,\,\,\cdot {[{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}]}^{{m}_{1}}\cdots {[{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}]}^{{m}_{s}}\end{array}

mit

r, s ∈ ℕ₀, k_ϱ, m_σ ∈ ℕ, α_ϱ, β_σ, γ_σ ∈ ℝ, γ_σ > 0, α_ϱ und (β_σ, γ_σ) jeweils paarweise verschieden und k₁ + … + k_r + 2 (m₁ + … +m_s) = n

zerlegt sei (was in ℂ gerade der Zerlegung in Linearfaktoren entspricht).

Grundlage für die Möglichkeit dieser Zerlegung ist der Fundamentalsatz der Algebra. Sie hat Bedeutung für die Integration rationaler Funktionen, da die Berechnung einer Stammfunktion von R damit reduziert ist auf die Berechnung von Stammfunktionen zu Funktionen des Typs \begin{eqnarray}\frac{1}{{(x-\alpha )}^{k}}\,\,\,\,\,(\alpha \in {\mathbb{R}},\,\,k\in {\mathbb{N}})\end{eqnarray} oder \begin{eqnarray}\frac{2b(x-\beta )+c}{{({(x-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{m}}\,\,\,\,\,(m\in {\mathbb{N}};\,\,b,c,\beta \in {\mathbb{R}},\gamma \gt 0)\end{eqnarray} (Integration von Partialbrüchen).