ℝ^m-wertige Funktion von mehreren reellen Variablen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar ist.

Eine Funktion f : D → ℝ^m mit D ⊂ ℝⁿ heißt dabei genau dann partiell differenzierbar an einer Stelle a ∈ D, wenn sie für alle j ∈ {1,…,n} partiell differenzierbar nach x_j an der Stelle a ist, also die partielle Ableitung ∂f/∂x_j an der Stelle a existiert.

Ist f : D → ℝ^m differenzierbar an der inneren Stelle a ∈ D, so ist f insbesondere partiell differenzierbar an der Stelle a, und es gilt f′(a) = J_f(a) mit der Jacobi-Matrix J_f(a).

Wie Beispiele zur Nicht-Differenzierbarkeit zeigen, folgt aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle nicht ihre (totale) Differenzierbarkeit an dieser Stelle, ja nicht einmal ihre Stetigkeit, selbst wenn die Funktion sonst überall differenzierbar ist. Ferner kann man auch bei einer partiell differenzierbaren Funktion mit beschränkten partiellen Ableitungen nicht auf Differenzierbarkeit schließen. Es gilt aber:

Ist f auf der Menge X ⊂ D partiell differenzierbar, und sind die partiellen Ableitungen von f auf X beschränkt, so ist f auf X stetig. Ist f auf einer Umgebung von a partiell differenzierbar, und sind die partiellen Ableitungen von f an der Stelle a stetig, so ist f an der Stelle a differenzierbar (und damit auch stetig).

Insbesondere sind für offenes G ⊂ ℝⁿ die Funktionen aus C¹(G) differenzierbar.