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Lexikon der Mathematik: partielle Ableitung

Ableitung einer ℝm-wertigen Funktion von mehreren reellen Variablen, nämlich die Ableitung der durch ‚Festhalten‘ aller bis auf einer Variablen erhaltenen ℝm-wertigen Funktion einer reellen Variablen, im Fall m = 1 also die Steigung der Funktion in Richtung einer Koordinatenachse, anschaulich gesehen die Steigung der durch „Schneiden“ des Graphen von f parallel zur Koordinatenachse gebildeten reellwertigen Funktion einer reellen Variablen.

Es seien D ⊂ ℝn, f : D → ℝm und aD. Für j ∈ {1,…,n} sei \begin{eqnarray}{I}_{j}:=\{t\in {\mathbb{R}}|a+t{e}_{j}\in D\},\end{eqnarray} wobei ej den j-ten Einheitsvektor bezeichnet, und hiermit fj : Ij → ℝm definiert durch \begin{eqnarray}{f}_{j}(t):=f(a+t{e}_{j})\end{eqnarray} für tIj. Damit heißt f genau dann partiell differenzierbar nach xj an der Stelle a oder partiell differenzierbar nach der j-ten Variablen an der Stelle a, wenn 0 innerer Punkt von Ij und fj an der Stelle 0 differenzierbar ist, also der Grenzwert \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a):={f}_{j}{^{\prime} }(0)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0}\frac{f(a+t{e}_{j})-f(a)}{t}\end{eqnarray} existiert, und \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)\end{eqnarray} heißt dann partielle Ableitung von f nach xj an der Stelle a oder partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablen an der Stelle a.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel partielle Ableitung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Üblich sind auch die Schreibweisen

\begin{eqnarray}{D}_{j}f(a)=\frac{\partial f(a)}{\partial {x}_{j}}=\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a).\end{eqnarray}

Die partielle Ableitung von f nach xj an der Stelle a ist gerade die Richtungsableitung von f in Richtung von ej an der Stelle a, d. h., f ist genau dann partiell differenzierbar nach xj an der Stelle a, wenn f in Richtung ej differenzierbar an der Stelle a ist, und es gilt dann \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)=\frac{\partial f}{\partial {e}_{j}}(a).\end{eqnarray}

Ist f differenzierbar an der Stelle a, so ist f partiell differenzierbar nach ej an der Stelle a, und es gilt \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)={f}{^{\prime} }(a){e}_{j}.\end{eqnarray}

Es sei Dj die Menge der Stellen xD, an denen f partiell differenzierbar nach xj ist. Dann heißt die Funktion \begin{eqnarray}{D}_{j}f=\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}:{D}_{j}\to {{\mathbb{R}}}^{m},\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto \frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(x)\end{eqnarray} partielle Ableitung von f nach xj oder partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablen. Gilt Dj = D, so heißt f partiell nach xj differenzierbar oder partiell nach der j-ten Variablen differenzierbar.

Da man die partielle Ableitung erhält, indem man alle bis auf eine Variable konstant hält und die ‚gewöhnliche‘ Ableitung bzgl. dieser einen Variablen bildet, übertragen sich die Differentiationsregeln leicht auf partielle Ableitungen.

Die durch \begin{eqnarray}f(x,y)={x}^{2}y+2x{y}^{3}\end{eqnarray} für x, y ∈ ℝ definierte Funktion f : ℝ2 → ℝ beispielsweise ist partiell differenzierbar nach beiden Variablen mit \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+2{y}^{3}\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)={x}^{2}+6x{y}^{2}.\end{eqnarray}

Durch wiederholtes partielles Ableiten (auch nach wechselnden Variablen) gelangt man zu höheren Ableitungen (partielle Ableitungen höherer Ordnung). Im allgemeinen ist dabei die Reihenfolge wesentlich, d. h. DiDjf verschieden von DjDif für ij. So ist etwa die Funktion f : ℝ2 → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{cll}xy \frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} zweimal partiell differenzierbar mit \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f(0,0)=-1\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f(0,0)=1.\end{eqnarray}

Jedoch sind gemischte höhere partielle Ableitungen unabhängig von der Differentiationsreihenfolge, wenn sie stetig sind (Schwarz, Satz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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