Ableitung einer ℝ^m-wertigen Funktion von mehreren reellen Variablen, nämlich die Ableitung der durch ‚Festhalten‘ aller bis auf einer Variablen erhaltenen ℝ^m-wertigen Funktion einer reellen Variablen, im Fall m = 1 also die Steigung der Funktion in Richtung einer Koordinatenachse, anschaulich gesehen die Steigung der durch „Schneiden“ des Graphen von f parallel zur Koordinatenachse gebildeten reellwertigen Funktion einer reellen Variablen.

Es seien D ⊂ ℝⁿ, f : D → ℝ^m und a ∈ D. Für j ∈ {1,…,n} sei \begin{eqnarray}{I}_{j}:=\{t\in {\mathbb{R}}|a+t{e}_{j}\in D\},\end{eqnarray} wobei e_j den j-ten Einheitsvektor bezeichnet, und hiermit f_j : I_j → ℝ^m definiert durch \begin{eqnarray}{f}_{j}(t):=f(a+t{e}_{j})\end{eqnarray} für t ∈ I_j. Damit heißt f genau dann partiell differenzierbar nach x_j an der Stelle a oder partiell differenzierbar nach der j-ten Variablen an der Stelle a, wenn 0 innerer Punkt von I_j und f_j an der Stelle 0 differenzierbar ist, also der Grenzwert \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a):={f}_{j}{^{\prime} }(0)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0}\frac{f(a+t{e}_{j})-f(a)}{t}\end{eqnarray} existiert, und \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)\end{eqnarray} heißt dann partielle Ableitung von f nach x_j an der Stelle a oder partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablen an der Stelle a.

\begin{eqnarray}{D}_{j}f(a)=\frac{\partial f(a)}{\partial {x}_{j}}=\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a).\end{eqnarray}

Die partielle Ableitung von f nach x_j an der Stelle a ist gerade die Richtungsableitung von f in Richtung von e_j an der Stelle a, d. h., f ist genau dann partiell differenzierbar nach x_j an der Stelle a, wenn f in Richtung e_j differenzierbar an der Stelle a ist, und es gilt dann \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)=\frac{\partial f}{\partial {e}_{j}}(a).\end{eqnarray}

Ist f differenzierbar an der Stelle a, so ist f partiell differenzierbar nach e_j an der Stelle a, und es gilt \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a)={f}{^{\prime} }(a){e}_{j}.\end{eqnarray}

Es sei D_j die Menge der Stellen x ∈ D, an denen f partiell differenzierbar nach x_j ist. Dann heißt die Funktion \begin{eqnarray}{D}_{j}f=\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}:{D}_{j}\to {{\mathbb{R}}}^{m},\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto \frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(x)\end{eqnarray} partielle Ableitung von f nach x_j oder partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablen. Gilt D_j = D, so heißt f partiell nach x_j differenzierbar oder partiell nach der j-ten Variablen differenzierbar.

Da man die partielle Ableitung erhält, indem man alle bis auf eine Variable konstant hält und die ‚gewöhnliche‘ Ableitung bzgl. dieser einen Variablen bildet, übertragen sich die Differentiationsregeln leicht auf partielle Ableitungen.

Die durch \begin{eqnarray}f(x,y)={x}^{2}y+2x{y}^{3}\end{eqnarray} für x, y ∈ ℝ definierte Funktion f : ℝ² → ℝ beispielsweise ist partiell differenzierbar nach beiden Variablen mit \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+2{y}^{3}\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)={x}^{2}+6x{y}^{2}.\end{eqnarray}

Durch wiederholtes partielles Ableiten (auch nach wechselnden Variablen) gelangt man zu höheren Ableitungen (partielle Ableitungen höherer Ordnung). Im allgemeinen ist dabei die Reihenfolge wesentlich, d. h. D_iD_jf verschieden von D_jD_if für i ≠ j. So ist etwa die Funktion f : ℝ² → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{cll}xy \frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} zweimal partiell differenzierbar mit \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f(0,0)=-1\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f(0,0)=1.\end{eqnarray}

Jedoch sind gemischte höhere partielle Ableitungen unabhängig von der Differentiationsreihenfolge, wenn sie stetig sind (Schwarz, Satz von).