Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: partielle Differentialgleichung

eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}F({x}_{1},{x}_{2},\ldots, {x}_{n},u,{u}_{{x}_{1}},\ldots, {u}_{{x}_{1}{x}_{1}},{u}_{{x}_{1}{x}_{1}},\ldots )=0,\end{eqnarray} die die Werte der unabhängigen Variablen x1,…,xn, einer Funktion u dieser Variablen und gewisser ihrer Ableitungen miteinander verknüpft.

Die höchste dabei auftretenden Ableitung definiert die Ordnung der Differentialgleichung. Als eine Lösung der partiellen Differentialgleichung bezeichnet man eine Funktion u(x1,…, xn), die in einem Gebiet G des Koordinatenraums alle in der Gleichung vorkommenden Ableitungen besitzt und die Gleichung für alle Punkte in G identisch erfüllt.

Eine partielle Differentialgleichung heißt linear, wenn die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur linear auftreten. Eine lineare partielle Differentialgleichung heißt homogen, wenn kein Summand auftritt, der nicht mit u oder einer ihrer Ableitungen multipliziert ist.

Eine partielle Differentialgleichung k-ter Ordnung heißt quasilinear, wenn die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung nur linear vorkommen.

Für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung existiert noch eine geschlossene Lösungstheorie, für solche zweiter und höherer Ordnung nicht mehr. Dort versucht man, nach einer Klassifikation (Klassifikation partieller Differentialgleichungen) spezielle, meist nur für die entsprechende Klasse gültige Lösungsverfahren zu entwickeln.

Da die Lösung einer partiellen Differentialgleichung i. allg. nicht eindeutig bestimmt ist, werden zumeist Anfangs- oder Randwertprobleme betrachtet, für die Eindeutigkeitsaussagen existieren. Man vergleiche daher auch die Einträge zu Anfangsund Randwertaufgaben der entsprechenden Klassen von partiellen Differentialgleichungen.

[1] Hellwig, G.: Partial Differential Equations. Teubner-Verlag Stuttgart, 1977.
[2] John, F.: Partial Differential Equations. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1978.
[3] Meinhold, P.; Wagner, E.: Partielle Differentialgleichungen. Teubner-Verlag Leipzig, 1990.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte