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Lexikon der Mathematik: partielle Summation

Bezeichnung für die Formeln (1) bzw. (2) im folgenden Satz.

Es seien n ∈ ℕ, a1,…,an ∈ ℂ und b0, b1,…,bn ∈ ℂ. Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k}-{b}_{k-1})={a}_{n}{b}_{n}-{a}_{1}{b}_{0} & \\ -\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_{k}({a}_{k+1}-{a}_{k}).\end{array}\end{eqnarray}

Oft schreibt man diese Formel auch in der folgenden Form. Sind a1,…,an ∈ ℂ und b1,…,bn, bn+1 ∈ ℂ, so gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}_{k}{b}_{k}={A}_{n}{b}_{n+1}+\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{A}_{k}({b}_{k}-{b}_{k+1}),\end{array}\end{eqnarray} wobei \({A}_{k}:=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{k}{a}_{j},\,\,\,\,k=1,\ldots, n\).

Hieraus läßt sich leicht das folgende Konvergenzkriterium für Funktionenreihen ableiten.

Es seien (fn), (gn) Folgen von Funktionen fn, gn : X → ℂ auf einer Menge X ⊂ ℂ, und \begin{eqnarray}{F}_{N}:=\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{f}_{n}\end{eqnarray}für N ∈ ℕ. Weiter sei die Folge (Fngn+1) und die Reihe\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{F}_{n}({g}_{n}-{g}_{n+1})\end{eqnarray}gleichmäßig konvergent auf X.

Dann ist auch die Reihe\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{f}_{n}{g}_{n}\end{eqnarray}gleichmäßig konvergent auf X.

Als Beispiel sei die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{e}^{inx},\,\,\,\,x\in (0,2\pi )\end{eqnarray} betrachtet, wobei (an) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen ist. Setzt man fn(x) = einx und gn(x) = an, so folgt \begin{eqnarray}{F}_{N}(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{e}^{inx}=\frac{1-{e}^{i(N+1)x}}{1-{e}^{ix}}\end{eqnarray} und daher die gleichmäßige Konvergenz der Reihe auf jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ (0, 2π). Zerlegt man die Reihe in Real- und Imaginärteil, so folgt speziell die Konvergenz der Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}\end{eqnarray} auf (0, 2π).

Interpretiert man Summation als Integration, also Σakbk als „Integral“ des Produkts, und Ak als „Integralfunktion“ von aj, so gleicht Formel (2) der Gleichung zur partiellen Integration. Daher erklärt sich der Name partielle Summation.

Das wird noch deutlicher in folgendem Resultat:

Sei (an)n≥0eine Folge komplexer Zahlen, und bezeichne\begin{eqnarray}A(t):=\displaystyle \sum _{n\le t}{a}_{n}.\end{eqnarray}

Weiter sei b eine stetig differenzierbare komplexe Funktion auf dem (reellen) Intervall [1, x]. Dann gilt\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{1\le n\le x}{a}_{n}b(n)=A(x)b(x)-\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{\int }}A(t){b}{^{\prime} }(t)\,dt.\end{eqnarray}

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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