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Lexikon der Mathematik: Partition einer natürlichen Zahl

jede Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe von natürlichen Zahlen.

Mit p(n) bezeichnet man die Anzahl aller Partitionen von n, wobei zwei Partitionen als gleich gelten, falls sie sich höchstens in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden. Zum Beispiel gilt p(4) = 5, denn 4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1 und 4 = 1 + 1 + 1 + 1. Die Werte von p(n) wachsen sehr schnell: p(7) = 15, p(10) = 42, p(30) = 5604, p(50) = 204 226, p(100) = 190 569 292, p(200) = 3 972 999 029 388.

Für \(q\in {\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) gilt folgende Formel von Euler: \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{(1-{q}^{n})}^{-1}=1+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p(n){q}^{n}.\end{eqnarray}

Bezeichnet u(n) bzw. v(n) die Anzahl aller Partitionen von n in ungerade bzw. verschiedene Summanden, so gilt für \(q\in {\mathbb{E}}\)\begin{array}{l}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{(1-{q}^{2n-1})}^{-1}=1+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u(n){q}^{n},\\ \displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+{q}^{n})=1+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v(n){q}^{n}.\end{array}

Hieraus erhält man leicht u(n) = v(n).

Es gibt auch eine Rekursionsformel für p(n), siehe hierzu Pentagonal-Zahlen-Satz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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