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Lexikon der Mathematik: Pascalsches Dreieck

graphische Darstellung der Binomialkoeffizienten \(\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\end{eqnarray}\), die beispielsweise in der binomischen Formel \begin{eqnarray}{(a+b)}^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){a}^{k}{b}^{n-k}\end{eqnarray} vorkommen: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ / & & & \vdots & & & & \vdots & & & \backslash \end{array}\end{eqnarray}

Man errechnet dieses Dreieck zeilenweise, indem man links und rechts außen jeweils eine 1 hinschreibt und die übrigen Zahlen jeweils als die Summe der beiden schräg darüberliegenden berechnet. In Binomialkoeffizienten ausgedrückt ist das gerade die Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right).\end{array}\end{eqnarray}

Das Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks findet sich bereits bei dem indischen Gelehrten Pingala (2. Jahrhundert v.Chr.), der damit die Anzahl der möglichen Zusammenstellungen von langen und kurzen Silben zu einem n-stelligen Versfuß bestimmte: hat man k kurze (⌣) und nk lange (–) Silben, so ergeben sich \(\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\end{eqnarray}\) mögliche Versfüße, z. B. für n = 4 und k = 2 die \(\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6\end{eqnarray}\) Varianten \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\unicode {x02323x02323}\unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013}\,\unicode {x2013},\, & \unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013},\, & \unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013}\,\unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323},\\ \unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323}\unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013},\, & \unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323}\,\unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323}, & \unicode {x2013}\,\unicode {x2013}\,\,\unicode {x02323x02323}\unicode {x02323x02323}.\end{array}\end{eqnarray}

In China läßt sich das Pascalsche Dreieck bis zur 6. Potenz in einer Handschrift aus dem Jahr 1407 nachweisen. Darin wird außerdem mitgeteilt, daß es von Yang Hui 1261 aus einem früheren Buch übernommen wurde; daher heißt das Pascalsche Dreieck in China auch Yang Huis Dreieck.

In Europa erschien das Pascalsche Dreieck erstmals 1527 gedruckt in der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccccccc} & & & 3 & & 3 & & & \\ & & 4 & & 6 & & 4 & & \\ & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & \\ 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\end{eqnarray} auf der Titelseite zu Apians Arithmetik. Um 1556 benutzte Tartaglia das Pascalsche Dreieck zum Wurzelziehen bis zur 11. Wurzel und gab es als seine eigene Erfindung aus; daher spricht man in Italien auch von Tartaglias Dreieck.

Blaise Pascal beschrieb in einer 1665 posthum publizierten Arbeit Traité du triangle arithmétique zahlreiche Eigenschaften dieses Dreiecks. Den Ausdruck triangle arithmétique de Pascal benutzte Lucas 1876, wonach sich dann die Bezeichnung Pascalsches Dreieck immer mehr etablierte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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