ein Integral-Kern (Integralgleichung), der insbesondere bei der Darstellung von linearen Funktionalen und Splinefunktionen eine Rolle spielt.

Es seien [a, b] ein reelles Intervall, L : [a, b] → ℝ ein lineares Funktional, Punkte a = x₀ < x₁ <…< x_k < x_k+1 = b und beliebige reelle Zahlen a₀,…,a_k+1 gegeben. Weiter bezeichne (·)₊ die übliche truncated-power-Funktion, also \begin{eqnarray}{(z)}_{+}^{r}=\left\{\begin{array}{cc}{z}^{r} & z\ge 0,\\ 0 & z\lt 0,\end{array}\right.\end{eqnarray} für r ∈ ℕ. Dann ist der Peano-Kern K :[a, b] → ℝ definiert durch \begin{eqnarray}K(u)=\frac{1}{r!}\left\{L({(\cdot -u)}_{+}^{r})-\displaystyle \sum _{i=0}^{k+1}{a}_{i}{({x}_{i}-u)}_{+}^{r}\right\}\end{eqnarray} für u ∈ [a, b].

Es gilt folgender Darstellungssatz:

Gilt für alle Polynome p höchstens r-ten Grades, daß \begin{eqnarray}L(p)-\displaystyle \sum _{i=0}^{k+1}{a}_{i}p({x}_{i})=0,\end{eqnarray}so gilt für alle Funktionen f ∈ C^r+1 [a, b]: \begin{eqnarray}L(f)-\displaystyle \sum _{i=0}^{k+1}{a}_{i}f({x}_{i})=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(u){f}^{(r+1)}(u)\,du.\end{eqnarray}

[1] Nürnberger, G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.