lautet:

Es sei q ∈ ℂ und |q| < 1. Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-{q}^{n}) & = & 1+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}[{q}^{\omega (n)}+{q}^{\omega (-n)}]\\ & = & \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)}^{n}{q}^{\omega (n)},\end{array}\end{eqnarray} wobei (ω(n))_n∈ℤdie Folge der Pentagonal-Zahlen bezeichnet.

Aus dem Pentagonal-Zahlen-Satz ergeben sich einige interessante Folgerungen. Es sei p(n) die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl n. Setzt man noch p(0) ≔ 1 und p(n) ≔ 0 für n ∈ ℤ, n < 0, so gilt für n ∈ ℕ die Rekursionsformel \begin{eqnarray}p(n)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k-1}[p(n-\omega (k))+p(n-\omega (-k))].\end{eqnarray}

Man beachte, daß die Summe tatsächlich nur endlich viele Summanden besitzt.

Für n ∈ ℕ sei \begin{eqnarray}\sigma (n):=\displaystyle \sum _{d|n}d\end{eqnarray} die Summe aller positiven Teiler von n. Setzt man noch σ(n) ≔ 0 für n ∈ ℤ, n ≤ 0, so gilt die Rekursionsformel \begin{eqnarray}\sigma (n)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k-1}[\sigma (n-\omega (k))+\sigma (n-\omega (-k))].\end{eqnarray} sofern n ∈ ℕ keine Pentagonal-Zahl ist. Für n = ω(±v), v ∈ ℕ gilt hingegen \begin{array}{l}\sigma (n)={(-1)}^{v-1}n\\ +\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k-1}[\sigma (n-\omega (k))+\sigma (n-\omega (-k))].\end{array}

Auch in diesem Fall enthält die Summe nur endlich viele Summanden. Zum Beispiel gilt für n = 12 = ω(3): \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\sigma (12) & = & {(-1)}^{2}12+\sigma (11)+\sigma (10)-\sigma (7)-\sigma (5)\\ & = & 12+12+18-8-6=28.\end{array}\end{eqnarray}

Die Funktion σ(n) läßt sich auch rekursiv durch die Funktion p(n) ausdrücken: \begin{array}{l}\sigma (n)=\\ \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k-1}[\omega (k)p(n-\omega (k))+\omega (-k)p(n-\omega (-k))].\end{array}

Weiterhin gilt für n ∈ ℕ noch die Formel \begin{eqnarray}p(n)=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sigma (k)p(n-k).\end{eqnarray}