eine Splinefunktion, die bei der Lösung eines speziellen Minimierungsproblems auftritt.

Es sei a = x₀ < x₁ <…< x_k < x_k+1 = b eine Menge von Knoten und m eine natürliche Zahl. Der zu den Knoten gehörige Raum der Splines S_m(x1,…,x_k) vom Grad m ist gegeben durch \begin{eqnarray}\begin{array}{c}{S}_{m}({x}_{1},\ldots, {x}_{k})=\{s\in {C}^{m-1}[a,b]:\\ s{|}_{[{x}_{i},{x}_{i+1}]}\in {{\rm{\Pi }}}_{m},\,\,\,i=0,\ldots, k\},\end{array}\end{eqnarray} wobei Π_m den Raum der Polynome vom Grad m bezeichnet. Ein Spline s ∈ S_m(x₁,…,x_k) heißt perfekter Spline, falls gilt: \begin{eqnarray}|{s}^{(m)}(t)|=\sup \{|{s}^{(m)}(\tau )|:\,\,\,\tau \in [a,b]\},\,\,\,\,t\in [a,b].\end{eqnarray}

Hierbei ist die m-te Ableitung s^(m) jeweils stückweise bzgl. der Intervalle [x_i, x_i+1) zu verstehen.

Bei der Untersuchung perfekter Splines spielen sogenannte aktive Knoten eine wichtige Rolle. Ein Knoten xi wird aktiv genannt, falls die stückweise konstante Funktion s^(m) einen Vorzeichenwechsel in x_i hat.

Wir betrachten die folgende spezielle Minimierungsaufgabe: Für vorgegebenes f ∈ C[a, b], vorgegebene Knoten a = x₀ < x₁ <…< x_k < x_k+1 = b, und eine feste natürliche Zahl r bestimme man eine Funktion g : [a, b] ↦ ℝ mit der Interpolationseigenschaft \begin{eqnarray}g({x}_{i})=f({x}_{i}),\,\,\,i=0,\ldots, k+1\end{eqnarray} so, daß \begin{eqnarray}{\Vert {g}^{(r+1)}\Vert }_{\infty }=\sup \{|{g}^{(r+1)}(t)|:\,\,\,\,\,t\in [a,b]\}\end{eqnarray} minimal ist. Der folgende Satz, der unabhängig von C. de Boor und S. Karlin Mitte der 70er Jahre gefunden wurde, zeigt den Zusammenhang zwischen der Lösung dieses Minimierungsproblems und perfekten Splines.

Die Funktion g löst genau dann das Minimierungsproblem, wenn ein Intervall [x_p, x_p+r+j] mit j ≥ 1 existiert, so, daß g ein perfekter Spline vom Grad r + 1 auf [x_p, x_p+r+j] ist, welcher die folgenden Eigenschaften besitzt: