Abbildung des Modulraumes in den Raum der Perioden.

Die Periodenabbildung ist für den Modulraum \({{\mathfrak{M}}}_{g}\) der algebraischen Kurven über ℂ vom Geschlecht g wie folgt definiert: Seien w₁,…,w_g linear unabhängige holomorphe 1–Formen auf X und γ₁,…,γ_2g eine Basis von H₁(X, ℤ). Die Periodenmatrix (Ω_ij) ist definiert durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Omega }}}_{ij}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\gamma }_{i}}{w}_{j}.\end{eqnarray}

Sie hängt von der Wahl der Basen ab. Zunächst kann man in H₁(X, ℤ) die Basis so wählen, daß die Matrix der Schnittform (γ_i, γ_j) die Gestalt \begin{eqnarray}Q=\left(\begin{array}{cc}0 & -{I}_{g}\\ {I}_{g} & 0\end{array}\right)\end{eqnarray} hat, wobei I_g die (g × g)-Einheitsmatrix ist. Dann kann man die Basis der 1–Formen so wählen, daß die Periodenmatrix die Gestalt (Z, I_g) hat, Z ∈ H_g. Dabei ist H_g der obere Siegelsche Halbraum, die Menge aller symmetrischen (g × g)-Matrizen mit Einträgen in ℂ und positiv definitem Imaginärteil. Die Periodenmatrix ist damit modulo der Operation der symplektischen Gruppe Sp(2g, ℤ), die zur Schnittmatrix Q gehört, eindeutig bestimmt. Die symplektische Gruppe \begin{eqnarray}Sp(2g,{\mathbb{Z}})=\left\{\left(\begin{array}{cc}A & B\\ C & D\end{array}\right)\in Gl(2g,{\mathbb{Z}})\,|\,TQ{T}^{t}=Q\right\}\end{eqnarray} operiert für Z ∈ H_g, T ∈ Sp(2g, ℤ) durch \begin{eqnarray}T\cdot Z=(AZ+B){(CZ+D)}^{-1}\end{eqnarray} auf H_g.

Die Abbildung \({{\mathfrak{M}}}_{g}\to {H}_{g}/Sp(2g,{\mathbb{Z}})\), die jeder Kurve \(x\in {{\mathfrak{M}}}_{g}\) die Klasse der Periodenmatrix Z mod Sp(2g, ℤ) zuordnet, heißt Periodenabbildung. Ein klassischer Satz von Torelli besagt, daß die Periodenabbildung injektiv ist.

Mit Hilfe der Hodge–Struktur kann man allgemeiner für Klassen von glatten projektiven Mannigfaltigkeiten die Periodenabbildung definieren und Torelli-Sätze beweisen.