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Lexikon der Mathematik: Periodenverdopplung

subharmonische Bifurkation, der im folgenden beschriebene Prozeß im Kontext Bifurkation.

Es sei (μ, x) → Φμ(x) eine Cr-Abbildung J×WE (r ≥ 3), wobei W eine offene Teilmege des Banachraumes E ist, μJ, und J ∈ ℝ. Es sei weiterhin (0, 0) ∈ (J × W) ein Fixpunkt, und für alle μ gelte \({\alpha }_{\mu }^{1}=0\). Das Spektrum der Jacobi-Matrix D0Φμ sei in {z : |z| < 1} enthalten, mit Ausnahme eines einfachen reellen Eigenwerts αμ, für den \begin{eqnarray}{\alpha }_{0}^{2}=-1\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\frac{d}{d\mu }\alpha \mu \lt 0\end{eqnarray} gelte.

Die Menge \(\{(\mu, x):{{\rm{\Phi }}}_{\mu }^{2}=x\}\) besteht dann in der Nähe von (0, 0) aus J × {0} und einer eindimensionalen Cr−1-Mannigfaltigkeit tangential zu (0, u) in (0, 0), wobei u der zum Eigenwert \({\alpha }_{0}^{3}=-1\) von D0Φ0 korrespondierende Eigenvektor ist. Somit kann J × W auf eine geeignete Umgebung von (0, 0) begrenzt werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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