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Lexikon der Mathematik: periodische Funktion

eine Funktion f : D → ℝ, wobei D ⊂ ℝ sei, zu der es eine Zahl p ∈ ℝ\{0}, genannt Periode von f, gibt mit\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}x+p\in D\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,f(x+p)=f(x)\end{array}\end{eqnarray} für alle xD. Man sagt dann auch, f sei p-periodisch. Kennt man die Werte von f auf einem beliebigen Intervall der Länge |p|, so kennt man die Werte von f auf ganz D. Ist p die kleinstmögliche Zahl so, daß (1) gilt, nennt man p auch Minimalperiode von f. Sind p1,…,pn Perioden von f, so ist auch jede von 0 verschiedene Kombination \begin{eqnarray}{k}_{1}{p}_{1}+\cdots +{k}_{n}{p}_{n}\end{eqnarray} mit k1,…,kn ∈ ℤ eine Periode von f.

Statt für reelle Funktionen läßt sich der Begriff der Periodizität allgemeiner definieren für Funktionen auf einer Menge, auf der eine ‚Addition‘ erklärt ist, etwa für Funktionen auf einer (additiv geschriebenen) Halbgruppe. Insbesondere ist damit auch der Begriff periodische Folge definiert.

Beispielsweise ist jede konstante Funktion trivialerweise periodisch (mit beliebigem p ≠ 0). Sinus- und Cosinusfunktion sind 2π-periodisch. Die komplexe Exponentialfunktion ist 2πi-periodisch.

Die reell- oder komplexwertigen periodischen Funktionen auf ℝ bilden keinen Vektorraum (man betrachte etwa die Summe zweier nichtkonstanter periodischer Funktionen mit irrationalem Periodenverhältnis), im Gegensatz zu den fastperiodischen Funktionen, die die stetigen periodischen Funktionen umfassen.

In der Funktionentheorie sind doppelt-periodische oder elliptische Funktionen, d. h. Funktionen mit zwei reell linear unabhängigen Perioden, von besonderem Interesse.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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