bijektive Abbildung einer Menge auf sich.

Auf einer n-elementigen Menge gibt es n! Permutationen; diese bilden bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe, die meist mit S_n bezeichnete symmetrische Gruppe oder Permutationsgruppe.

Für n ≥ 3 ist S_n nicht kommutativ. Ein Element π aus S_n wird oft in der Form \begin{eqnarray}\pi =\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \cdots & n\\ \pi (1) & \pi (2) & \cdots & \pi (n)\end{array}\right)\end{eqnarray} angegeben.

Ein Fixpunkt der Permutation π ist ein i mit π(i) = i. π heißt zyklisch oder ein Zykel, wenn eine Teilmenge {x₁,…,x_r} ⊂ {1,…,n} existiert mit π(x_i) = x_i+1 für 1 ≤ i < r, π(x_r) = x₁ und π(xl) = xl sonst. In der sogenannten Zykelschreib-weise schreibt man ein solches π als (x₁,…,x_r), r wird als Länge der Permutation bezeichnet. Die einzige zyklische Permutation der Länge 1 ist die Identität; zyklische Permutationen der Länge 2 heißen Transpositionen.

Jede Permutation ist Produkt von Transpositionen; diese Darstellung ist nicht eindeutig, jedoch ist jede Permutation entweder stets das Produkt von geradzahlig vielen Permutationen oder von ungeradzahlig vielen Permutationen; entsprechend wird die Permutation als gerade oder ungerade bezeichnet. Jede Permutation läßt sich als Produkt elementfremder Zykel schreiben.