lautet:

Sei A eine reelle (n × n)-Matrix mit nichtnegativen Einträgen, die keine invarianten Unterräume besitzt. Weiter seien λ₁,…,λ_n die mit Vielfachheiten gezählten Eigenwerte von A, so angeordnet, daß \begin{eqnarray}|{\lambda }_{1}|=|{\lambda }_{2}|=\ldots =|{\lambda }_{k}|\gt |{\lambda }_{k+1}|\ge \ldots |{\lambda }_{n}|\end{eqnarray}mit geeignetem 1 ≤ k ≤ n.

Dann gilt:

1. λ ≔ |λ₁| ist einfacher Eigenwert von A.
2. Es gibt einen Eigenvektor von A zum Eigenwert λ mit rein positiven Koordinaten (im ℝⁿ).
3. Ist o.B.d.A. λ₁ = e^0.2πi/k · λ, so ist λ_k = e^{(k–1)·2πi/k} · λ.
4. Für jeden Eigenvektor v von A ist e^2πi/k · v ebenfalls Eigenvektor von A.
5. Falls k > 1, so kann A durch Permutation seiner Zeilen bzw. Spalten auf die Form \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ccccccc}0 & {A}_{1} & 0 & \cdots & & & 0\\ 0 & 0 & {A}_{2} & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & & & 0 & {A}_{k-1}\\ {A}_{k} & 0 & \cdots & & & 0 & 0\end{array}\right)\end{eqnarray}mit geeigneten (n/k × n/k)-Matrizen A₁,…,A_k gebracht werden.

Eine andere Formulierung des Satzes lautet:

Bezeichnet ϱ(·) den Spektralradius einer (n × n)-Matrix, und ist ‘≥’ bei reellen Matrizen bzw. Vektoren komponentenweise definiert, so gelten für eine reelle (n × n)-Matrix A ≥ 0 folgende Aussagen:

1. ϱ(A) ist Eigenwert von A. Dabei gilt ϱ(A) = 0 genau dann, wenn es eine Permutationsmatrix P so gibt, daß PAP^T eine strenge untere Dreiecksmatrix ist.
2. Zu ϱ(A) gibt es einen Eigenvektor x ≥ 0.
3. B ≥ A ⇒ ϱ(B) ≥ ϱ(A).

Jeder Eigenvektor x = (x_i) > 0 (also x_i > 0 für alle i) von A ≥ 0 heißt auch Perron-Vektor von A.

Ist A überdies irreduzibel, so verschärft sich der Satz wie folgt:

Für eine reelle, irreduzible Matrix A ≥ 0 gelten folgende Eigenschaften:

1. ϱ(A) ist positiv und einfacher Eigenwert von A.
2. Zu ϱ(A) gibt es einen Eigenvektor x > 0.
3. B ≥ A ⇒ ϱ(B) > ϱ(A), falls A ≠ B.