eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals, weitestgehend analog zum Denjoy-Integral (Denjoy-integrierbare Funktion).

Zur Definition braucht man den Begriff der Oberund Unterfunktion. Es sei f eine auf dem Intervall [a, b] definierte (nicht notwendigerweise endliche) reellwertige Funktion.

Mit Hilfe der vier Dini-Ableitungen der Funktion f, also D₋f, D⁻f D₊f, D⁺f, setzt man D_u = min{D₋f, D₊f} und D_o = max{D⁻f, D⁺f}. Man nennt dann eine Funktion O Oberfunktion von f, wenn gilt: O(a) = 0, und \begin{eqnarray}f(x)\le {D}_{u}O(x),\,\,\,\,\,\,-\infty \lt {D}_{u}O(x)\end{eqnarray} für alle x ∈ [a, b]. Entsprechend nennt man eine Funktion U Unterfunktion von f, wenn gilt: U(a) = 0, und \begin{eqnarray}f(x)\ge {D}_{o}U(x),\,\,\,\,\,\,-\infty \gt {D}_{o}U(x)\end{eqnarray} für alle x ∈ [a, b].

Stimmt nun die untere Schranke über die Werte O(b) aller Oberfunktionen mit der oberen Schranke über die Werte U(b) aller Unterfunktionen überein, so nennt man diesen gemeinsamen Wert das Perron-Integral von f, meist bezeichnet mit \begin{eqnarray}(P)\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\,dx.\end{eqnarray}

In diesem Fall nennt man f eine Perron-integrierbare Funktion.

Beispielsweise sind meßbare Funktionen, die eine Unter- und Oberfunktion besitzen, Perronintegrierbar.

Die Funktion f ist genau dann Perron-integrierbar, wenn sie Denjoy-integrierbar ist; in diesem Fall stimmen Perron-Integral und Denjoy-Integral überein.