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Lexikon der Mathematik: Perronsche Familie

funktionentheoretischer Begriff.

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f: ∂G → ℝ eine beschränkte Funktion, d. h. es existiert eine Konstante M ≥ 0 mit | f (ζ)| ≤ M für alle ζ∂G. Weiter sei \({\mathcal{P}}(f,G)\) die Menge aller subharmonischen Funktionenv in G derart, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{z\to \zeta }\,v(z)\le f(\zeta )\end{eqnarray} für alle ζ∂G gilt, d.h., zu jedem ζ∂G und jedem ϵ > 0 existiert eine offene Umgebung U von ζ mit \begin{eqnarray}v(z)\lt f(\zeta )+\varepsilon \end{eqnarray} für alle z ∈ UG. Dann heißt \({\mathcal{P}}(f,G)\) eine Perronsche Familie bezüglich f und G.

Da f beschränkt ist, folgt \({\mathcal{P}}(f,G)\ne \varnothing \), denn die konstante Funktion v(z) = −M liegt in \({\mathcal{P}}(f,G)\). Falls G oder f unbeschränkt sind, so sind zur Definition der zugehörigen Perronschen Familie geringfügige Modifikationen notwendig.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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