lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, f: ∂G → ℝ eine beschränkte Funktion und \({\mathcal{P}}(f,G)\)die Perronsche Familie bezüglich f und G. Weiter sei u: G → ℝ definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}u(z):=\sup \{v(z):v\in {\mathcal{P}}(f,G)\}.\end{array}\end{eqnarray}

Dann ist u eine in G harmonische Funktion.

Das Perronsche Prinzip kann dazu benutzt werden, das Dirichlet-Problem in der Ebene zu lösen. Dazu seien G und f wie oben. Weiter existiere ein ζ₀ ∈ ∂G und eine Funktion \(w:\bar{G}\to {\mathbb{R}}\), die in \(\bar{G}\) stetig und in G harmonisch ist derart, daß w(ζ₀) = 0 und w(ζ) > 0 für alle ζ ∈ ∂G \ {ζ₀}. Eine solche Funktion w nennt man eine Barriere von G an ζ₀. Ist nun f stetig an ζ₀, so gilt für die in (1) definierte Funktion u \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to {\zeta }_{0}}u(z)=f({\zeta }_{0}).\end{eqnarray}

Falls ℂ \ G keine Zusammenhangskomponente besitzt, die nur aus einem Punkt besteht, so kann man zeigen, daß G an jedem Punkt ζ ∈ ∂G eine Barriere besitzt. Ist schließlich f stetig auf dG, so liefert die Funktion u in (1) die Lösung des zugehörigen Dirichlet-Problems, d. h. u ist stetig fortsetzbar auf \(\bar{G}\), und es gilt u(ζ) = f(ζ) für alle ζ ∈ ∂G.