im Jahr 1976 von Donald Ervin Knuth in Anlehnung an die Definitionen von m · n und mⁿ eingeführte Schreibweise zur einfachen Konstruktion sehr großer natürlicher Zahlen wie z. B. der Graham-Zahl. Für m, n ∈ ℕ gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccl}m\cdot n & = & \mathop{\overbrace{m+m+\cdots +m}}\limits^{n\,\text{Exemplare}\,\text{von}\,m}\\ m\uparrow n & = & m\cdot m\cdot \cdots \cdot m\\ m\uparrow \uparrow n & = & m\uparrow m\uparrow \cdots \uparrow m\\ m\uparrow \uparrow \uparrow n & = & m\uparrow \uparrow m\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow m\\ & \vdots & \end{array}\end{eqnarray}

Die Verknüpfungen sind dabei rechtsassoziativ zu lesen, d. h. k ↑ m ↑ n = k ↑ (m ↑ n) usw..

Die Pfeilschreibweise erlaubt eine übersichtliche Darstellung der Ackermann-Funktion a: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}a(1,y) & = & 2+(y+3)-3\\ a(2,y) & = & 2\cdot (y+3)-3\\ a(3,y) & = & 2\uparrow (y+3)-3\\ a(4,y) & = & 2\uparrow \uparrow (y+3)-3\\ a(5,y) & = & 2\uparrow \uparrow \uparrow (y+3)-3\\ & \vdots & \end{array}\end{eqnarray}

Zurückgehend auf John Horton Conway und Richard Kenneth Guy nennt man daher die Zahlen 1 ↑ 1 = 1, 2 ↑↑ 2 = 4, 3 ↑↑↑ 3,… auch Ackermann-Zahlen, wobei schon \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}3\uparrow \uparrow \uparrow 3 & = & 3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow {3}^{{3}^{3}}\\ & = & 3\uparrow \uparrow 7625597484987={3}^{{3}^{{\unicode{x022F0}}^{3}}}\end{array}\end{eqnarray} ein Potenzturm der Höhe 7625597484987 ist.

Noch wesentlich leistungsfähiger ist die von Conway und Guy erfundene Notation mit verketteten Pfeilen. Für a, b, c, n, y, z ∈ ℕ sowie k ∈ ℕ und a₁,…,a_k ∈ ℕ gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}a\to b\to c & = & a\mathop{\overbrace{\uparrow \cdots \uparrow }}\limits^{c\,\text{Pfeile}}b\\ \overrightarrow{a}\to y\to 1 & = & \overrightarrow{a}\to y\\ \overrightarrow{a}\to 1\to {z}{^{\prime} } & = & \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{a}\to {n}{^{\prime} }\to {z}{^{\prime} } & = & \overrightarrow{a}\to (\overrightarrow{a}\to n\to {z}{^{\prime} })\to z\end{array}\end{eqnarray}

Hier ist \(\overrightarrow{a}={a}_{1}\to {a}_{2}\to \cdots \to {a}_{k}\) abgekürzt, sowie n′ = n + 1, z′ = z + 1. Die n-te Ackermann-Zahl ist damit gerade n → n → n, und für x > 2 hat man \begin{eqnarray}a(x,y)=(2\to (y+3)\to (x-2))-3.\end{eqnarray}

Eine andere Möglichkeit zur Konstruktion großer Zahlen ist mit der Polygonschreibweise gegeben.

[1] Conway, J. H.; Guy, R. K.: Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und andere Zahlen. Birkäuser Basel, 1997.
[2] Kracke, H.: Mathe-musische Knobelisken. Dümmler Bonn, 1992.