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Lexikon der Mathematik: Phragmén-Lindelöf, Satz von

lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes, unbeschränktes Gebiet und f eine in G holomorphe Funktion. Weiter sei ϕ eine in G beschränkte, holomorphe Funktion mit ϕ(z) ≠ 0 für alle zG. Schließlich existiere eine Konstante M ≥ 0 derart, daß lim supzζ |f(z)| ≤ Mfür alle ζ∂G und lim supz→∞ |f(z)||ϕ(z)|ηM für jedes η > 0.

Dann gilt |f (z)| ≥ M für alle z ∈ G.

Der Satz von Phragmén-Lindelöf ist eine Art Maximumprinzip für unbeschränkte Gebiete.

Es seien noch zwei wichtige spezielle Versionen für Winkelräume erwähnt.

Es sei \(\alpha \ge \frac{1}{2}\), \begin{eqnarray}G=\left\{z\in {\mathbb{C}}:|\arg z|\lt \frac{\pi }{2\alpha }\right\},\end{eqnarray}f eine in G holomorphe Funktion und M ≥ 0 eine Konstante derart, daß lim supzζ |f(z)| ≤ Mfür alle ζ ∈ ∂G. Weiter seien R, C und β positive Konstanten derart, daß β < α und |f(z)| ≤ C exp (|z|β ) für alle zG mit |z| >R.

Dann gilt\begin{eqnarray}|f(z)|\le M\end{eqnarray}für alle z ∈ G.

Eine andere Version ist:

Es sei \(\alpha \ge \frac{1}{2}\), \begin{eqnarray}G=\left\{z\in {\mathbb{C}}:|\arg z|\lt \frac{\pi }{2\alpha }\right\},\end{eqnarray}f eine in G holomorphe Funktion und M ≥ 0 eine Konstante derart, daß lim supz→ζ |f(z)| ≤ M für alle ζ∂G. Für jedes δ > 0 seien R = R(δ) und C = C(δ) positive Konstanten derart, daß |f(z)| ≤ C exp (δ|z|α) für alle zG mit |z| >R.

Dann gilt \begin{eqnarray}|f(z)|\le M\end{eqnarray}für alle zG.

Ist f (z) = exp (zα), so ist f stetig auf \(\bar{G}\), holomorph in G und |f (z)| = 1 für alle z∂G. Offensichtlich ist f aber unbeschränkt in G. Dieses Beispiel zeigt, daß die Wachstumsvoraussetzung an f in G nicht abgeschwächt werden kann.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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