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Lexikon der Mathematik: Picard, kleiner Satz von

wichtiger Satz in der Funktionentheorie, der wie folgt lautet:

Es sei f eine ganze Funktion. Dann nimmt f jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme an.

Ein Beispiel ist die ganze Funktion f (z) = ez, die den Wert 0 nie annimmt.

Eine wesentliche Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Picard liefert der große Satz von Picard (Picard, großer Satz von).

Aus dem kleinen Satz von Picard kann man leicht einige interessante Folgerungen gewinnen, von denen hier zwei erwähnt werden. Die erste betrifft Fixpunkte ganzer Funktionen. Das Beispiel \begin{eqnarray}f(z)=z+{e}^{z}\end{eqnarray} zeigt, daß eine ganze Funktion keine Fixpunkte besitzen muß. Jedoch gilt folgender Satz.

Es sei f eine ganze Funktion derart, daß ff keinen Fixpunkt besitzt.

Dann ist f von der Form f (z) = z + c mit einer Konstanten c ∈ ℂ \ {0}.

Eine weitere Anwendung betrifft die Fermatsche Gleichung \begin{eqnarray}{f}^{n}+{g}^{n}=1\end{eqnarray} für n ∈ ℕ, n ≥ 2. Für n = 2 sind f (z) = cos z und g(z) = sin z Lösungen dieser Gleichung. Allgemeiner gilt folgender Satz.

Es seien n ∈ ℕ, n2 und f, g ganze Funktionen mit \begin{eqnarray}{(f(z))}^{n}+{(g(z))}^{n}=1\end{eqnarray}für alle z ∈ ℂ. Ist n = 2, so existiert eine ganze Funktion h derart, daß f (z) = cos h(z) und g(z) = sin h(z) für alle z ∈ ℂ. Ist n > 2, so sind f und g konstante Funktionen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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