Aussage über die Existenz von eindeutig bestimmten Lösungen des allgemeinen Anfangswertproblems \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\bf{\text{y}}}}{^{\prime} }=f(x,{\bf{\text{y}}}),\qquad{\bf{\text{y}}}({x}_{0})={{\bf{\text{y}}}}_{0}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Existenz einer eindeutigen Lösung in einer Umgebung vom Anfangswert x₀ liefert der lokale Eindeutigkeitssatz:

Seien a, b > 0, x₀ ∈ ℝ, y₀ ∈ ℝⁿ, \begin{eqnarray}G:=\{(x,{\bf{\text{y}}})\in {{\mathbb{R}}}^{n+1}|\,\,|x-{x}_{0}|\,\,\le a,\Vert {\bf{\text{y}}}-{{\bf{\text{y}}}}_{0}\Vert \le b\},\end{eqnarray}f ∈ C⁰(G, ℝⁿ), und genüge f in G bezüglich y einer Lipschitz-Bedingung mit einer geeigneten Lipschitz-Konstanten. Sei weiterhin M > 0, mit ║f (x_y) ║ ≤ M für alle (x, y) ∈ G, und sei schließlich \begin{eqnarray}\varepsilon :=\min \,\left\{a,\frac{b}{M}\right\}.\end{eqnarray}

Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte Lösung \begin{eqnarray}{\bf{\text{y}}}:[{x}_{0}-\varepsilon, \,{x}_{0}+\varepsilon ]\to {{\mathbb{R}}}^{n}.\end{eqnarray}

Hierbei ist zu beachten, daß man zur Definition von G und der Lipschitz-Konstanten dieselbe Norm ║ · ║ benutzt. Die Existenz und Eindeutigkeit einer maximal fortgesetzten Lösung in einem größeren Bereich G liefert der globale Eindeutigkeitssatz:

Sei G ⊂ ℝⁿ⁺¹ offene Menge, (x₀, y₀) ∈ G, f ∈ C⁰(G, ℝⁿ), und genüge f lokal einer Lipschitz-Bedingung bezüglich y. Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte, maximal fortgesetzte Lösung.

Siehe auch Existenz- und Eindeutigkeitssätze.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.