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Lexikon der Mathematik: Picard-Lindelöf, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von

Aussage über die Existenz von eindeutig bestimmten Lösungen des allgemeinen Anfangswertproblems \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\bf{\text{y}}}}{^{\prime} }=f(x,{\bf{\text{y}}}),\qquad{\bf{\text{y}}}({x}_{0})={{\bf{\text{y}}}}_{0}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Existenz einer eindeutigen Lösung in einer Umgebung vom Anfangswert x0 liefert der lokale Eindeutigkeitssatz:

Seien a, b > 0, x0 ∈ ℝ, y0 ∈ ℝn, \begin{eqnarray}G:=\{(x,{\bf{\text{y}}})\in {{\mathbb{R}}}^{n+1}|\,\,|x-{x}_{0}|\,\,\le a,\Vert {\bf{\text{y}}}-{{\bf{\text{y}}}}_{0}\Vert \le b\},\end{eqnarray}fC0(G, ℝn), und genüge f in G bezüglich y einer Lipschitz-Bedingung mit einer geeigneten Lipschitz-Konstanten. Sei weiterhin M > 0, mit ║f (xy) ║ ≤ M für alle (x, y) ∈ G, und sei schließlich \begin{eqnarray}\varepsilon :=\min \,\left\{a,\frac{b}{M}\right\}.\end{eqnarray}

Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte Lösung \begin{eqnarray}{\bf{\text{y}}}:[{x}_{0}-\varepsilon, \,{x}_{0}+\varepsilon ]\to {{\mathbb{R}}}^{n}.\end{eqnarray}

Hierbei ist zu beachten, daß man zur Definition von G und der Lipschitz-Konstanten dieselbe Norm ║ · ║ benutzt. Die Existenz und Eindeutigkeit einer maximal fortgesetzten Lösung in einem größeren Bereich G liefert der globale Eindeutigkeitssatz:

Sei G ⊂ ℝn+1 offene Menge, (x0, y0) ∈ G, fC0(G, ℝn), und genüge f lokal einer Lipschitz-Bedingung bezüglich y. Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte, maximal fortgesetzte Lösung.

Siehe auch Existenz- und Eindeutigkeitssätze.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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