Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Picard-Schema

genauer Picard-Schema eines Schemas X, der Modulraum (Modulprobleme) der Geradenbündel auf X, vorausgesetzt, ein solcher Modulraum existiert.

Dazu muß man einige einschränkende Voraussetzungen an X machen, z.B., daß X ein flaches projektives Schema über einem „genügend guten“ Basisschema S (z. B. Spektrum eines Körpers, Spektrum eines Ringes von endlichem Typ über ℤ, oder eine algebraische Kurve) ist, mit der Eigenschaft \({H}^{0}({X}_{\xi },{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\xi }})=k(\xi )\) für jede geometrische Faser von X über S.

Man kann noch ein relativ amples Geradenbündel \({{\mathcal{O}}}_{X}(1)\) von X über S fixieren und nach dem Modulraum der Geradenbündel vom Grad d (auf den Fasern, bzgl. \({{\mathcal{O}}}_{X}(1)\)) fragen. Dieser existiert und ist ein flaches quasiprojektives Schema \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) über S, und \({\bigsqcup }_{d\in {\mathbb{Z}}}{\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) ist der Modulraum aller Geradenbündel.

\({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\) ist ein Gruppenschema über S, und für ein d ∈ ℤ ist \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) lokal isomorph zu \({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\) (in der Etaltopologie) oder leer. \({\text{Pic}}_{X/S}^{0}\) bezeichne die Zusammenhangskomponente der Null in \({\text{Pic}}_{X/S}^{0,\tau }\).

Am einfachsten ist die Beschreibung von \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) im Falle, daß \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) einen Schnitt besitzt. Man wähle einen solchen Schnitt s : SX und definiere für jedes S-Schema U \begin{eqnarray}{X}_{U}=X{\times }_{S}U.\end{eqnarray}

Ist sU : UXU der von s induzierte Schnitt \begin{eqnarray}{P}_{X/S}^{d,\tau }(U)=\{{\mathcal{L}}\in \text{Pic}({X}_{U})|{s}_{U}^{* }{{\mathcal{L}}}_{U}\simeq {{\mathcal{O}}}_{U}\},\end{eqnarray} und hat \({\mathcal{L}}\) auf den Fasern von XUU den Grad d, dann ist \(U\mapsto {P}_{X/S}^{d,\tau }(U)\) ein kontravarianter Funktor, und es gibt eine natürliche Transformation \begin{eqnarray}\text{Hom}(U,{\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau })\simeq {P}_{X/S}^{d,\tau }(U).\end{eqnarray}

Anders formuliert: Es gibt ein universelles Bündel (Poincaré-Bündel) \begin{eqnarray}P\in \text{Pic}(X{\times }_{S}\,{\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau })\end{eqnarray} mit \({s}_{{\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }}^{* }(P)\simeq {\mathcal{O}}\) und so, daß zu jedem S-Schema US und zu jedem Bündel \({\mathcal{L}}\in {P}_{X/S}^{d,\tau }(U)\) genau ein S-Morphismus \(f:U\to {P}_{X/S}^{d,\tau }\) existiert mit \begin{eqnarray}{(i{d}_{X}{\times }_{S}f)}^{* }(P)\cong {\mathcal{L}}.\end{eqnarray}

Aus der funktoriellen Beschreibung von \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) lassen sich eventuell weitere Eigenschaften des Picard-Schemas ableiten, z. B.:

(i) Basiswechsel für US: \begin{eqnarray}{\text{Pic}}_{{X}_{U}/U}^{d,\tau }={\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }{\times }_{S}U;\end{eqnarray} insbesondere sind die geometrischen Fasern von \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\) über S die Picard-Schemata \({\text{Pic}}_{{X}_{\xi }/k(\xi )}^{d,\tau }\).

(ii) \({\text{Pic}}_{X/S}^{d,\tau }\to S\) ist eigentlich, wenn X glatt über S ist.

(iii) Wenn S = Spec(k), k ein Körper, so ist der Tangentialraum an den Nullpunkt \begin{eqnarray}{T}_{0}({\text{Pic}}_{X/S}^{0})={H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}).\end{eqnarray}

(iv) Im Falle von Körpern k der Charakteristik 0 und S = Spec(k) ist \({\text{Pic}}_{X/k}^{0}\) (und damit jedes \({\text{Pic}}_{X/k}^{d}\) glatt (da jedes Gruppenschema dann glatt ist).

Letzteres muß im Falle positiver Charakteristik nicht immer stimmen, \({H}^{2}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})=0\) ist eine hinreichende Bedingung, um Glattheit zu garantieren. Auf jeden Fall ist für glatte X \begin{eqnarray}{({\text{Pic}}_{X/k}^{0})}_{\text{red}}=\hat{A}\end{eqnarray} ein abelsches Schema, und \({\text{Pic}}^{0}(\hat{A})=\text{Alb}(X)\) liefert eine algebraische Beschreibung der AlbaneseVarietät (Albanese-Abbildung). Die AlbaneseAbbildung α : X → Alb(X) (mit α(s) = 0 für den gewählten Schnitt von X über Spec(k)) ist der dem Poincaré-Bündel entsprechende Morphismus \begin{eqnarray}X\to {\text{Pic}}^{0}(\hat{A})=\text{Alb}(X).\end{eqnarray}

Hier wird also P als Familie von Bündeln über Â, parametrisiert durch X, betrachtet.

Wenn k = ℂ, so ist der zugrundeliegende analytische Raum \begin{eqnarray}{({\text{Pic}}_{X/{\mathbb{C}}})}_{\text{an}}={H}^{1}\,({X}_{\text{an}},{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}})/{H}^{1}({X}_{\text{an}},2\pi i{\mathbb{Z}})\end{eqnarray} (Picard-Gruppe).

Für singuläre projektive Varietäten ist \({\text{Pic}}_{X}^{0}\) Erweiterung einer abelschen Varietät durch ein affines Gruppenschema. Im einfachsten Fall einer Kurve X, die nur gewöhnliche Doppelpunkte oder gewöhnliche Spitzen besitzt, hat man beispielsweise eine exakte Folge \begin{eqnarray}0\to {{\mathbb{G}}}_{m}^{d}\times {{\mathbb{G}}}_{a}^{c}\to {\text{Pic}}^{0}(X)\to {\text{Pic}}^{0}(\tilde{X})\to 0,\end{eqnarray} wobei \(\tilde{X}\to X\) die Normalisierung von X, \({{\mathbb{G}}}_{m}=G{l}_{1}\) die multiplikative Gruppe, und \({{\mathbb{G}}}_{a}={{\mathbb{A}}}^{1}\) die additive Gruppe ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte