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Lexikon der Mathematik: Plessner, Satz von

lautet:

Es sei f einemeromorphe Funktion in 𝔼 = { z ∈ ℂ : |z| < 1 }. Dann existieren drei disjunkte Borel-Mengen Nf ,Pf ,Gf ⊂ 𝕋 = 𝔼 mit 𝕋 = NfPfGf und folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist Nf eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes auf 𝕋.
  2. Für jedes ζPf und jedes offene Dreieck Δ ⊂ 𝔼 mit einer Ecke an ζ ist f(Δ) dicht in \(\hat{\rm{\mathbb{C}}}\), d. h. zu jedem \(a\,\in \,\hat{{\rm{{\mathbb{C}}}}}\)existiert eine Folge (zn) in Δ mit f(zn) → a (n → ∞).
  3. Für jedes ζGf besitzt f einen endlichen Winkelgrenzwert an ζ.

Die Punkte mit der Eigenschaft (ii) heißen Plessner-Punkte von f, während man die Punkte mit der Eigenschaft (iii) Fatou-Punkte von f nennt. Ist f eine beschränkte holomorphe Funktion in 𝔼, so ist offensichtlich Pf = ∅. Daher impliziert der Satz von Plessner sofort den Satz von Fatou.

Ein Beispiel: Die Funktion \begin{eqnarray}f(z)\,:=\,\exp \left(\exp \,\frac{1}{1-z}\right)\end{eqnarray} ist holomorph in 𝔼 und besitzt an z = 1 einen Plessner-Punkt. Alle anderen Punkte von 𝕋 sind Fatou-Punkte von f.

Die Menge Pf der Plessner-Punkte einer meromorphen Funktion f in 𝔼 kann wie folgt charakterisiert werden. Es ist Pf stets eine Gδ-Menge, d. h. es existieren abzählbar viele offene Mengen Un ⊂ 𝕋 mit \({P}_{f}=\displaystyle {\cap }_{n=1}^{\infty }{U}_{n}\). Ist umgekehrt E ⊂ 𝕋 eine Gδ-Menge, so existiert eine holomorphe Funktion f in 𝔼 mit Pf = E. Insbesondere gibt es holomorphe Funktionen f in 𝔼 mit Pf = 𝕋.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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