eine Relation zwischen Invarianten eingebetteter ebener Kurven und der dualen Kurve.

Es sei f : C → ℙ² ein Morphismus vom Grad d (= Grad von f*𝒪_ℙ2 (1)) einer glatten projektiven algebraischen Kurve C in die projektive Ebene, d ≥ 2, und birational auf das Bild f(C). Die duale Kurve ist der Morphismus \(\hat{f}\,:\,C\,\to \,{\hat{{\rm{{\mathbb{P}}}}}}^{2}\) in die duale projektive Ebene, so daß \(\hat{f}(p)\) mit p ∈ C der Geraden in ℙ² entspricht, die im Punkte f(p) mit der Kurve f(C) oskuliert (oskulierend). Bis auf endlich viele Punkte ist damit \(\hat{f}\) definiert, und da C glatt ist, ist \(\hat{f}\) eindeutig auf ganz C fortsetzbar. Es gilt \((\hat{f})^\hat{}=f\).

Der Grad von \(\hat{f}\,:\,C\,\to \,{\hat{{\rm{{\mathbb{P}}}}}}^{2}\) ist die Anzahl der Geraden durch einen allgemeinen Punkt von ℙ², die mit C oskulieren. Eine Gerade, die mit einer ebenen Kurve in zwei verschiedenen Punkten oskuliert, heißt Doppeltangente, und ein nicht-singulärer Punkt einer ebenen Kurve, in dem die oskulierende Gerade die Kurve mindestens von der Ordnung drei berührt, heißt Wendepunkt.

Wenn sowohl f(C) als auch \(\hat{f}(C)\) höchstens gewöhnliche Doppelpunkte oder gewöhnliche Spitzen als Singularitäten haben, und δ resp. b resp. κ resp. f die Anzahl der gewöhnlichen Doppelpunkte von f(C) resp. \(\hat{f}(C)\) resp. die Anzahl der Spitzen von f(C) resp. \(\hat{f}(C)\) bezeichnet, so gelten folgende Aussagen: \begin{eqnarray}b & = & \text{Anzahl der Doppeltangenten von}\,f(C),\\ f & = & \text{Anzahl der Wendepunkte von}\,f(C),\,\\ \hat{d} & = & d(d-1)-2\delta -3\kappa,\\ d & = & \hat{d}(\hat{d}-1)-2b-3f\\ g & = & \frac{(d-1)(d-2)}{2}-\delta \,-\kappa\\ & = & \frac{(\hat{d}-1)\,(\hat{d}-2)}{2}-b-f.\end{eqnarray} Hier ist g das Geschlecht der Kurve C (algebraische Kurve).