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Lexikon der Mathematik: Pochhammersche Differentialgleichung

homogene lineare Differentialgleichung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{(-1)}^{v}\,\left(\begin{array}{c}k\,+\,n-v-1\\ n-v\end{array}\right){P}^{(n-v)}(x){y}^{(v)}\,\\ +\,\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{(-1)}^{v}\,\left(\begin{array}{c}k\,+\,n-v-1\\ n-v-1\end{array}\right)\,{Q}^{(n-v\,-1)}(x){y}^{(v)}=0.\end{array}\end{eqnarray} Dabei sind n, k ∈ ℕ, P ein Polynom vom Grad ≤ n, und Q ein Polynom vom Grad ≤ n − 1.

Setzt man \begin{eqnarray}\phi (t)=\frac{1}{P(t)}\,\exp \,(\displaystyle \int \frac{Q(t)}{P(t)}dt),\end{eqnarray} und ist die Bedingung \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{K}}}\frac{d}{dt}[{(t-x)}^{k}P(t)\phi (t)]dt=0,\end{eqnarray} erfüllt, so ist \begin{eqnarray}y(x)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{K}}}{(t-x)}^{k\,+\,n-1}\,\phi (t)dt\end{eqnarray} eine Lösung der Gleichung (1). Um die Bedingung (2) zu erfüllen, muß der Integrationsweg 𝔎 entsprechend gewählt werden. Falls P vom Grad n ist und n verschiedene Nullstellen hat, so schließt man jede Nullstelle durch eine geschlossene Kurve 𝔎 ein und erhält so n linear unabhängige Lösungen, also ein Fundamentalsystem. Hat P nicht diese Eigenschaft, so zieht man zusätzlich offene Kurven derart hinzu, daß (tx)kP(t)ϕ(t) in den Endpunkten verschwindet.

Ein Spezialfall der Pochhammerschen Differentialgleichung ist die Tissotsche Differentialgleichung. Hier ist \begin{eqnarray}P(x)=\displaystyle \prod _{v=1}^{n-1}(x-{a}_{v})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}Q(x)=P(x)\,+\,\displaystyle \sum _{v=1}^{n-1}\frac{{b}_{v}\,P(x)}{x-{a}_{v}}.\end{eqnarray} Eine Differentialgleichung, die sich in eine Pochhammersche überführen läßt, ist die Riemannsche Differentialgleichung: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{y}^{\prime\prime}}\,+\,{y}^{\prime}\,\displaystyle \sum _{\nu=1}^{3}\frac{1-{\alpha }_{\nu}-{\beta }_{\nu}}{x-{c}_{\nu}}\,+\,\left[\frac{y}{(x-{c}_{1})(x-{c}_{2})(x-{c}_{3})}\, \\ \cdot \,\displaystyle \sum _{\nu=\,1}^{3}\frac{{\alpha }_{\nu}{\beta }_{\nu}\,({c}_{\nu}-{c}_{\nu-1}\,({c}_{\nu}-{c}_{\nu\,+\,1})}{x-{c}_{\nu}}\right]=0,\end{array}\end{eqnarray} wobei ∑(αν + βν) = 1 und cν+3 := cν ist.

Mit \begin{eqnarray}y & = & u(x)\,\displaystyle \prod _{\nu=1}^{3}{(x-{c}_{\nu})}^{{\alpha }_{\nu}},\,k=-1-\displaystyle \sum {\alpha }_{\nu},\\ P(x) & = & (x-{c}_{1})(x-{c}_{2})(x-{c}_{3}),\\ Q(x) & = & \displaystyle \sum _{\nu=1}^{3}({\beta }_{\nu}\,+\,{\alpha }_{\nu-1}\,+\,{\alpha }_{\nu\,+\,1})\,\cdot \,(x-{c}_{\nu-1})(x-{c}_{\nu\,+\,1})\end{eqnarray} wird aus (3) die Pochhammersche Differentialgleichung \begin{eqnarray}P(x){{u}^{\prime\prime}} & – & (k{P}^{\prime}\,(x)\,+\,Q(x)){u}^{\prime}\\ & + & \left[\left(\begin{array}{c}k\,+\,1\\ 2\end{array}\right)\,{{P}^{\prime\prime}}(x)\,+\,(k\,+\,1)\,{Q}^{\prime}(x)\right]\,u=0,\end{eqnarray} und man erhält \begin{eqnarray}y(x)=P(x)\,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{K}}}\left[{(t-x)}^{-{\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}-{\alpha }_{3}}\,\cdot \,\displaystyle \prod _{v=1}^{3}{(t-{c}_{v})}^{{\beta }_{v}\,+\,{\alpha }_{v-1}\,+\,{\alpha }_{v\,+\,1}-1}\right]\,dt\end{eqnarray} als Lösung der Riemannschen Differentialgleichung (3). Dabei ist K wieder geeignet zu wählen (αν+3 := αν, βν+3 := βν).

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner-Verlag Stuttgart, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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