Lexikon der Mathematik: Poincaré-Abbildung
Monodromie-Abbildung, Wiederkehr-Abbildung, Abbildung zur Untersuchung geschlossener Orbits eines Flusses.
Es sei ein Fluß (M, ℝ, Φ) mit einer Mannigfaltigkeit M gegeben. Weiter sei γ ⊂ M ein geschlossener Orbit und x0 ∈ γ (d. h., x0 ist ein periodischer Punkt). Eine Hyperfläche S ⊂ M, d. h. eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1, heißt Poincaré-Schnitt für x0, falls S ∩ γ ={x0} und S nicht tangential an das vom Fluß erzeugte Vektorfeld F ist, d. h., für jedes x ∈ S gilt
Durch Iteration der Poincaré-Abbildung lassen sich Stabilitätsuntersuchungen des dynamischen Systems vornehmen. Bei Hamiltonschen Systemen wird M durch eine Energiehyperfläche des Systems ersetzt, so daß der transversale Schnitt S zu einer symplektischen Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 des Phasenraums und die Poincaré-Abbildung automatisch ein lokaler Symplektomorphismus werden. Das Studium von Poincaré-Abbildungen hat allgemein die Betrachtung von Abbildungsiterationen nach sich gezogen, wie zum Beispiel beim geometrischen Satz von Poincaré.
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