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Lexikon der Mathematik: Poincaré-Abbildung

Monodromie-Abbildung, Wiederkehr-Abbildung, Abbildung zur Untersuchung geschlossener Orbits eines Flusses.

Es sei ein Fluß (M, ℝ, Φ) mit einer Mannigfaltigkeit M gegeben. Weiter sei γM ein geschlossener Orbit und x0γ (d. h., x0 ist ein periodischer Punkt). Eine Hyperfläche SM, d. h. eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1, heißt Poincaré-Schnitt für x0, falls Sγ ={x0} und S nicht tangential an das vom Fluß erzeugte Vektorfeld F ist, d. h., für jedes xS gilt \begin{eqnarray}{T}_{x}M\,\text{=}\,\text{Span}(F(x))\,\oplus \,{T}_{x}S\text{.}\end{eqnarray} Für einen Poincaré-Schnitt S existiert eine Umgebung US von x0 so, daß für jedes xU ein T(x) > 0 existiert so, daß Φ(x, T(x)) ∈ U, aber Φ(x, t) ∉ U für alle t ∈ (0, T(x)). Für jedes xU heißt dieses T(x) die Wiederkehrzeit von x. Damit wird eine Abbildung P : UU definiert durch \begin{eqnarray}P(x)\,\,:\text{=}\,\Phi (x\text{,}\,T(x))\,\,(x\,\in \,U)\text{.}\end{eqnarray} Diese Abbildung P heißt Poincaré-Abbildung (des periodischen Punktes x0).

Durch Iteration der Poincaré-Abbildung lassen sich Stabilitätsuntersuchungen des dynamischen Systems vornehmen. Bei Hamiltonschen Systemen wird M durch eine Energiehyperfläche des Systems ersetzt, so daß der transversale Schnitt S zu einer symplektischen Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 des Phasenraums und die Poincaré-Abbildung automatisch ein lokaler Symplektomorphismus werden. Das Studium von Poincaré-Abbildungen hat allgemein die Betrachtung von Abbildungsiterationen nach sich gezogen, wie zum Beispiel beim geometrischen Satz von Poincaré.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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