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Lexikon der Mathematik: Poincaré-Bendixson-Theorem

lautet:

Es sei ein auf einer offenen Teilmenge W ⊂ ℝ2definiertes C1-Vektorfeld f : W → ℝ2gegeben. Dann ist jede nichtleere, kompakte Limesmenge AW, die keinen Fixpunkt von f enthält, ein periodischer Orbit.

Eine andere Fassung lautet:

Sei f ein glattes Vektorfeld auf der Sphäre S2 := { x | x ∈ ℝ3, ∥x∥ = 1} mit endlich vielen Fixpunkten. Sei weiter x0S2. Es bezeichne ω(x0) seine ω-Limesmenge (ω-Limespunkt).

Dann liegt genau einer der folgenden Fälle vor:

  1. ω(x0) ist Fixpunkt.
  2. ω(x0) ist ein geschlossener Orbit.
  3. ω(x0) besteht aus endlich vielen Fixpunkten und regulären Orbits, die die Fixpunkte verbinden, d. h. für einen solchen regulären Orbit γω( x0) gibt es zwei Fixpunkte p und q so, daß gilt: α(γ ) = p und ω(γ ) = q.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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