auch Poincarés letztes Theorem oder geometrischer Satz von Poincaré genannt, lautet:

Seien a, b ∈ ℝ⁺mit a < b, und sei R der Kreisring\begin{eqnarray}R:\text{=}\,\{(x\text{,}\,y)\,|(x\text{,}\,y)\,\in \,{{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{2}\,\text{,}\,a\,\le \,\sqrt{{x}^{2}\,+\,{y}^{2}}\,\le \,b\}\,\text{.}\end{eqnarray}

Weiter sei in Polarkoordinaten eine Abbildung Φ : R → R, (r, ϑ) ↦ (ϕ(r, ϑ), ψ(r, ϑ)) gegeben, für die gilt:

1. Φ ist flächentreu,
2. ϕ(a, ϑ) = a, ϕ(b, ϑ) = b für alle ϑ ∈ [0, 2π).
3. ψ(a, ϑ) < ϑ, ψ(b, ϑ) > ϑ für alle ϑ ∈ [0, 2π).

Dann hat Φ zwei Fixpunkte.

Poincaré war bei seinen Untersuchungen des Dreikörperproblems auf diesen Satz gestoßen, konnte ihn jedoch nur in einigen Spezialfällen beweisen und sandte ihn kurz vor seinem Tod (daher der im Englischen übliche Name „Poincaré’s last theorem“) zur Veröffentlichung, mit einer Bemerkung, daß er von der allgemeinen Gültigkeit überzeugt sei. Vollständig bewiesen wurde der Satz erst von Birkhoff.