Satz über die Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung.

Es sei λ ≥ 0 eine reelle Zahl und (p_n)_n∈ℕeine Folge im Intervall [0, 1] mit der Eigenschaft\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }n{p}_{n}=\lambda.\end{eqnarray}Dann gilt\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){p}_{n}^{k}{(1-{p}_{n})}^{n-k}=\frac{{\lambda}^{k}}{k!}{e}^{-\lambda }\end{eqnarray}für alle k ∈ ℕ₀.

Für großes n und kleine Erfolgswahrscheinlichkeit p kann die Binomialverteilung mit den Parametern n und p also durch die Poisson-Verteilung mit dem Parameter µ = np approximiert werden. Eine Abschätzung der Approximationsgüte ist dabei z. B. durch die Ungleichung \begin{eqnarray}\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){p}^{k}{(1-{p}_{n})}^{n-k}-\frac{{\mu }^{k}}{k!}{e}^{-\mu }\right|\le \frac{\mu }{n}\min (2,\mu )\end{eqnarray} gegeben.