im Einheitskreis 𝔼 ={ z ∈ ℂ : |z| < 1 } definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\,\,\,\, z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray} Dabei ist ℤ = re^it, \({\mathcal{P}}\) der Poisson-Kern, f ∈ L¹(𝕋) (d. h. f : 𝕋 → ℂ ist Lebesgue-integrierbar) und 𝕋 = ∂𝔼. Statt F schreibt man auch P[f]. Es ist P[f] eine komplexwertige harmonische Funktion in 𝔼, d. h. P[f] = u + iv, wobei u, v (reellwertige) harmonische Funktionen in 𝔼 sind. Im allgemeinen ist P[f] aber keine holomorphe Funktion.

Zur Erläuterung weiterer Eigenschaften von P[f] wird für 1 ≤ p < ∞ und für eine komplexwertige harmonische Funktion u in 𝔼 gesetzt \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{p}:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}{\left(\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{|u(r{e}^{it})|}^{p}dt\right)}^{1/p},\end{eqnarray} und für p = ∞ \begin{eqnarray}{\Vert u\Vert }_{\infty }:=\mathop{\sup }\limits_{0\le r\lt 1}\mathop{\max }\limits_{t\in (-\pi ,\pi ]}|f(r{e}^{it})|.\end{eqnarray} Dann sei h^p die Menge aller in 𝔼 harmonischen Funktionen u derart, daß ∥u∥_p < ∞. Mit der punktweisen Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen ist h^p ein komplexer Vektorraum. Weiter ist ∥ · ∥_p eine Norm auf h^p, und h^p damit ein Banachraum. Man nennt h^p Hardy-Raum harmonischer Funktionen. Es gilt h^∞ ⊂ h^q ⊂ h^p ⊂ h¹ für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Dabei sind alle diese Inklusionen echt, d. h. für p ≠ q gilt h^p ≠ h^q. Der Raum h¹ enthält alle positiven harmonischen Funktionen in 𝔼.

Mit diesen Bezeichnungen gilt P[f] ∈ h¹ für alle f ∈ L¹(𝕋). Genauer ist die Abbildung P: L¹(𝕋) → h¹ mit f ↦ P[f] linear und injektiv, aber nicht surjektiv. Weiter bildet P den Unterraum L^p(𝕋), 1 < p ≤ ∞ bijektiv auf h^p ab.

Ist f ∈ L¹(𝕋) und e^it₀ ∈ 𝕋 ein Lebesgue-Punkt von f, d. h. \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to {t}_{0}}\frac{1}{t-{t}_{0}}\displaystyle \underset{{t}_{0}}{\overset{t}{\int }}|f({e}^{i\vartheta })-f({e}^{i{t}_{0}})|d\vartheta =0,\end{eqnarray} so gilt für den radialen Grenzwert \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1}P|f|(r{e}^{i{t}_{0}})=f({e}^{i{t}_{0}}).\end{eqnarray} Insbesondere existiert dieser Grenzwert für fast alle e^it₀ ∈ 𝕋. Falls f stetig auf 𝕋 ist, so gilt dies für alle e^it₀ ∈ 𝕋. Setzt man in diesem Fall \begin{eqnarray}H|f|(r{e}^{it}):=\left\{\begin{array}{ll}\begin{array}{l}f({e}^{it})\\ P|f|(r{e}^{it})\end{array} & \begin{array}{l}\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r=1,\\ \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,0\le r\lt 1,\end{array}\end{array}\right.\end{eqnarray} so ist H[f] stetig auf \(\bar{E}\) und harmonisch in E.

Allgemeiner kann man das Poisson-Integral eines komplexen Borel-Maßes µ auf 𝕋 betrachten. Dieses ist definiert durch \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)d\mu ({e}^{i\vartheta })d\vartheta , \,\,\,\, z\in \mathbb{E}.\end{eqnarray} Statt F schreibt man P[dµ]. Ist f ∈ L¹(𝕋) und definiert man für eine Borel-Menge E ⊂ 𝕋 \begin{eqnarray}\mu (E):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{E}f({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\end{eqnarray} so ist µ ein komplexes Borel-Maß auf 𝕋 und P[dµ] = P[f]. Es gilt P[dµ] ∈ h¹. Genauer liefert µ → P[dµ] eine lineare, bijektive Abbildung zwischen dem Raum aller komplexen Borel-Maße auf 𝕋 und h¹. Dabei wird die Menge aller positiven endlichen Borel-Maße auf 𝕋 bijektiv auf die Menge aller positiven harmonischen Funktionen in 𝔼 abgebildet.