für ζ , z ∈ ℂ mit |ζ |= R > 0 und |z| < R definiert durch \begin{eqnarray}{P}_{R}(\zeta ,z):=\frac{1}{2\pi }\frac{{R}^{2}-{|z|}^{2}}{{|\zeta -z|}^{2}}=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Re}\frac{\zeta +z}{\zeta -z}.\end{eqnarray} Schreibt man ζ = Re^iϑ und z = re^it mit ϑ, t ∈ ℝ und 0 ≤ r < R, so hat der Kern die Gestalt \begin{eqnarray}{P}_{R}(\zeta ,z)=\frac{1}{2\pi }\frac{{R}^{2}-{r}^{2}}{{R}^{2}-2Rr\cos (\vartheta -t)+{r}^{2}}.\end{eqnarray}

Im folgenden wird nur der Spezialfall R = 1 betrachtet. Man schreibt dann kurz P(ζ, z) und definiert auf [0, 1) × ℝ die Funktion \begin{eqnarray}\mathcal{P}(r,\varphi ):=\frac{1}{2\pi }\frac{1-{r}^{2}}{1-2r\cos \varphi +{r}^{2}}.\end{eqnarray} Offensichtlich gilt P(ζ, z) = \({\mathcal{P}}\)(r, ϑ − t). Im folgenden werden die wesentlichen Eigenschaften von P(ζ, z) zusammengestellt. Dazu sei 𝔼 ={ z ∈ ℂ : |z| <1 } und T = { z ∈ ℂ : |z|= 1 }.

1. Für festes ζ ∈ T ist P(ζ, ·) eine harmonische Funktion in 𝔼.
2. \({\mathcal{P}}\)(r, φ + 2π) = \({\mathcal{P}}\)(r, φ) für (r, φ) ∈ [0, 1) × ℝ.
3. \({\mathcal{P}}\)(r, φ) = \({\mathcal{P}}\)(r, −φ) für (r, φ) ∈ [0, 1) × R.
4. \(\mathcal{P}(r,\phi ):=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{r}^{|n|}{e}^{in\phi }\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,(r,\phi )\in [0,1)\times {\rm{{\mathbb{R}}}}.\)
5. \({\mathcal{P}}\)(r, φ) > 0 für (r, φ) ∈ [0, 1) × ℝ.
6. \(\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\phi )d\phi =1\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,r\in [0,1).\)
7. Für 0 < |φ| ≤ π gilt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1}\mathcal{P}(r,\varphi )=0,\) und zwar gleichm gleichmäßig in φ auf der Menge \begin{eqnarray}\{\varphi \in {\rm{{\mathbb{R}}}}:\delta \le |\varphi |\le \pi \}\end{eqnarray} für jedes δ > 0.

Der Poisson-Kern spielt eine wichtige Rolle beim Poisson-Integral und bei der Poisson-Integral-formel.