Eigenschaft von Punkten im Kontext dynamischer Systeme.

Für einen Fluß (M, ℝ, Φ) auf einem topologischen Raum M heißt ein Punkt x ∈ M positiv bzw. negativ Poisson-stabil, falls er in seiner eigenen ω-Limesmenge bzw. α-Limesmenge enthalten ist: \begin{eqnarray}x\in w(x)\,\,\,\text{bzw}\text{.}\,\,\, x\in \alpha (x)\end{eqnarray} Ist x positiv und negativ Poisson-stabil, so heißt er Poisson-stabil.

Positiv und negativ Poisson-stabile Punkte sind nicht-wandernde Punkte, jedoch gilt nicht die Umkehrung. Für x ∈ M sind äquivalent:

1. x ist positiv Poisson-stabil.
2. Für den Vorwärts-Orbit (Orbit) 𝒪⁺(x) gilt \(\overline{{{\mathcal{O}}}^{+}(x)}=w(x).\)
3. Für den Orbit 𝒪(x) gilt 𝒪(x) ⊂ ω(x).
4. Für alle T > 0 und alle Umgebungen U(x) von x existiert ein t > T mit Φ(x, t) ∈ U(x).

Analoge Äquivalenzen gelten für (negativ) Poisson-stabile Punkte. Rekurrente Punkte, also z. B. Fixpunkte und periodische Punkte, sind Poissonstabil. Für ein C¹-Vektorfeld auf S² vergleiche auch das Poincaré-Bendixson-Theorem.

In einem vollständigen metrischen Raum M liegt für ein positiv Poisson-stabiles x ∈ M die Menge ω(x) \ 𝒪(x) dicht in ω(x). Insbesondere ist dann x genau dann periodisch, wenn 𝒪(x) = ω(x) gilt.