antisymmetrisches kontravariantes Tensorfeld P zweiter Stufe auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M (d. h. P ∈ Γ(Λ²TM)), für das die Schouten-Klammer [P, P] verschwindet.

Zur Definition äquivalent ist die Bedingung, daß für je zwei reellwertige C^∞-Funktionen f und g auf M die Vorschrift (f, g) 0→ { f, g} := P(df, dg) eine Poisson-Klammer auf C^∞(M) definiert. Da man im ℝⁿ immer 2k ≤ n am Ursprung linear unabhängige Vektorfelder X₁,… , X_k, Y₁,… , Y_k mit kompaktem Träger findet, die paarweise bzgl. der Lie-Klammer kommutieren, so läßt sich auf jeder n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit Hilfe einer Karte eine nichtverschwindende Poisson-Struktur durch die Vorschrift \begin{eqnarray}{X}_{1}\wedge {Y}_{1}+\cdots {X}_{k}\wedge {Y}_{k}\end{eqnarray} definieren, falls 2 ≤ 2k ≤ n ist.

Nach dem Zerlegungssatz von A. Weinstein (1983) läßt sich um jeden Punkt m einer Poissonschen Mannigfaltigkeit (M, P) eine offene Umgebung finden, die isomorph ist zum kartesischen Produkt S×N, wobei S eine offene Umgebung von M des durch m gehenden symplektischen Blattes von M und (N, P_t) eine Poissonsche Mannigfaltigkeit ist, deren Poisson-Struktur bei m verschwindet.

P_t wird dann die transversale Poisson-Struktur (bezüglich m und S) genannt.