eine differenzier-bare Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Poisson-Struktur P, Hauptgegenstand der Poisson-Geometrie.

Jede symplektische Mannigfaltigkeit ist eine Poissonsche Mannigfaltigkeit, ferner besitzt der Dualraum 𝔤^∗ jeder endlichdimensionalen reellen Lie-algebra (𝔤, [ , ]) eine lineare Poisson-Struktur, gegeben durch P_α := α ∘ [ , ]. Das kartesische Produkt M := M₁ × M₂ zweier Poisson-Mannigfaltigkeiten (M₁, P₁) und (M₂, P₂) trägt wiederum eine kanonische Poisson-Struktur P₁ ⊕ P₂ die am Punkte (m₁, m₂) ∈ M gegeben ist durch \begin{eqnarray}({P}_{1}\oplus {P}_{2})({m}_{1},{m}_{2}):=({T}_{m}{}_{1}{i}_{1}\otimes {T}_{{m}_{1}}{i}_{1}){P}_{1}({m}_{1})+({T}_{m}{}_{2}{i}_{2}\otimes {T}_{m2}{i}_{2}){P}_{2}({m}_{2}),\end{eqnarray} wobei i₁ : M₁ → M und i₂ : M₂ → M die kanonischen Injektionen bezeichnen.