Theorie der Polaren in Vektorräumen.

Sind V und V⁺ Vektorräume und ist (V, V⁺) ein Bilinearsystem, so kann man jeder Teilmenge M von V ihre Polare \begin{eqnarray}{M}^{\circ }=\{{x}^{+}\in {V}^{+}|\mathop{\sup }\limits_{x\in M}|\langle x,{x}^{+}\rangle |\,\le \,1\}\subseteq {V}^{+}\end{eqnarray} zuordnen. Auf analoge Weise definiert man für eine Teilmenge N ⊂ V⁺ die Polare \begin{eqnarray}{N}^{\circ }=\{{x}\in {V}^{+}|\mathop{\sup }\limits_{{x}^{+}\in M}|\langle x,{x}^{+}\rangle |\,\le \,1\}\subseteq V.\end{eqnarray} Ist beispielsweise M ein Teilraum, so gilt M° = M^∧. Ist dagegen V ein normierter Raum und V⁺ = V′, so ist die Polare der abgeschlossenen Einheitskugel von V genau die abgeschlossene Einheitskugel von V′.

Um nun einige Eigenschaften der Polaren zu formulieren, bezeichnet man eine Menge M ⊆ V als σ(V, V⁺)-beschränkt oder auch als schwach beschränkt, falls jede Linearform x →< x, x⁺> auf M beschränkt bleibt. Weiterhin setzt man M°° = (M°)° und bezeichnet diese Menge als die Bipolare von M. Dann gilt der folgende Satz.

Es seien (V, V⁺) ein Bilinearsystem und M sowie M_i, i ∈ I, Teilmengen von V, wobei I eine beliebige Indexmenge ist. Dann gelten:

1. Aus M₁ ⊆ M₂folgt \({M}_{2}^{\circ }\subseteq {M}_{1}^{\circ }\).
2. \({(\lambda M)}^{\circ }=\frac{1}{\lambda}{M}^{\circ }\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\lambda \ne 0.\).
3. M ⊆ M^°°.
4. \({(\mathop{\bigcup }\limits_{i\in I}{M}_{i})}^{\circ }=\mathop{\bigcap }\limits_{i\in I}{M}_{i}^{\circ }\)
5. M° ist absolut konvex.
6. M° ist σ (V⁺, V)-abgeschlossen.
7. M° ist genau dann absorbierend, wenn M σ (V, V⁺)-beschränkt ist.

Ein zentraler Satz der Polarentheorie ist der Bipolarensatz, der die Bipolare einer Menge M in einem topologischen Vektorraum beschreibt. Ist also M ⊆ V, so ist der Durchschnitt aller absolut konvexen Mengen, die M umfassen, selbst wieder eine absolut konvexe Menge, die man als die absolut konvexe Hülle von M bezeichnet. Ist nun V ein topologischer Vektorraum, so bezeichnet man den Durchschnitt aller absolut konvexen und abgeschlossenen Mengen, die M umfassen, als die absolut konvexe abgeschlossene Hülle von M, die dann selbst wieder absolut konvex und abgeschlossen ist. Der folgende Bipolarensatz zeigt den Zusammenhang zwischen der Bipolaren und der abolut konvexen abgeschlossenen Hülle einer Menge.

Es seien V und V⁺Vektorräume und (V, V⁺) ein Bilinearsystem.

Dann ist die Bipolare M^°°einer nichtleeren Teilmenge M von V genau die absolut konvexe, σ (V, V⁺)-abgeschlossene Hülle von M.