Darstellung eines Polynoms (bzw. homogenen Polynoms) p(U) vom Grad ≤ m (bzw. vom Grad m), eine symmetrische multi-affine (bzw. multi-lineare) Funktion P von m Argumenten mit P(U,…, U) = p(U).

Die Polarform von p ändert sich nicht bei einer Permutation der m Argumente, hängt linear von p ab und ist durch diese Forderungen eindeutig bestimmt.

Die Konstruktion der Polarform läßt sich am besten anhand eines Beispieles erläutern. Wir wählen ein homogenes Polynom in zwei Unbestimmten u₀, u₁, nämlich \(p(U)={u}_{0}^{3}+{u}_{0}{u}_{1}^{2}\). Dieses schreiben wir in der Form \begin{eqnarray}p(U)={u}_{0}{u}_{0}{u}_{0}+{u}_{0}{u}_{1}{u}_{1}\end{eqnarray} und betrachten alle Permutationen der vorkommenden Multiindizes (Multiindex-Schreibweise). (0, 0, 0) besitzt nur eine Permutation, aber (0, 1, 1) hat drei, nämlich (0, 1, 1), (1, 0, 1), und (1, 1, 0). Die multilineare Polarform P von p ist dann gegeben durch \begin{eqnarray}p(U_1,U_2,U_3)={u}_{1,0}{u}_{2,0}{u}_{3,0}+\frac{1}{3}({u}_{1,0}{u}_{2,1}{u}_{3,1}+{u}_{1,1}{u}_{2,0}{u}_{3,1}+{u}_{1,1}{u}_{2,1}{u}_{3,0})\end{eqnarray} Die multiaffine Polarform Q des inhomogenen Polynoms \(q({u}_{1})=1+{u}_{1}^{2}\) für m = 3 finden wir dadurch, daß wir zuerst ein homogenes Polynom p(u₀, u₁) vom Grad 3 suchen mit q(u₁) = p(u₀, u₁) wenn u₀ = 1. Offenbar erfüllt p(U) von oben diese Bedingung. Dann entsteht Q aus P durch das Setzen von u_1,0 = u_2,0 = u_3,0 = 1. Wir erhalten \begin{eqnarray}Q({u}_{1,1}{u}_{2,1}{u}_{3,1})=1+\frac{1}{3}({u}_{2,1}{u}_{3,1}+{u}_{1,1}{u}_{3,1}+{u}_{1,1}{u}_{2,1}).\end{eqnarray}

Eine formale Definition ist die folgende: Ist p ein Monom in den Unbestimmten u₁, …, u_n, so schreiben wir es als Produkt p(U) = u_i1 ··· u_im mit der Abkürzung U = (u₁,…, u_n). Für die multilineare Polarform von p gilt die Gleichung \begin{eqnarray}P({U}_{1},\ldots ,{U}_{m})=\frac{1}{N}\displaystyle \sum _{\sigma }{u}_{1,\sigma ({i}_{1})}\cdots {u}_{m,\sigma (i,m)},\end{eqnarray} wobei σ alle Permutationen des Multiindexes (i₁, …, i_m) durchläuft, und N die Anzahl dieser Permutationen ist.

Ist q ein nicht notwendigerweise homogenes Polynom vom Grad ≤ m in den Unbestimmten U′ = (u₁,…, u_n), so schreiben wir U = (u₀, u₁,…, u_n) und betrachten das homogene Polynom p(U) vom Grad m mit p(U) = q(U′) wenn u₀ = 1. Ist P die multilineare Polarform von p, so ist die multiaffine Polarform Q von q gegeben durch \begin{eqnarray}Q({U}^{\prime}_{1},\ldots ,{U}^{\prime}_{m})=P({U}_{1},\ldots ,{U}_{m}),\,\,\text{wenn}\,\,{u}_{j,0}=1.\end{eqnarray}